【LeetCode: 378. 有序矩阵中第 K 小的元素 + 二分】

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🚩 题目链接

• 378. 有序矩阵中第 K 小的元素

⛲ 题目描述

给你一个 n x n 矩阵 matrix ，其中每行和每列元素均按升序排序，找到矩阵中第 k 小的元素。
请注意，它是 排序后 的第 k 小元素，而不是第 k 个 不同 的元素。

你必须找到一个内存复杂度优于 O(n2) 的解决方案。

示例 1：

输入：matrix = [[1,5,9],[10,11,13],[12,13,15]], k = 8
输出：13
解释：矩阵中的元素为 [1,5,9,10,11,12,13,13,15]，第 8 小元素是 13
示例 2：

输入：matrix = [[-5]], k = 1
输出：-5

提示：

n == matrix.length
n == matrix[i].length
1 <= n <= 300
-109 <= matrix[i][j] <= 109
题目数据 保证 matrix 中的所有行和列都按 非递减顺序 排列
1 <= k <= n2

进阶：

你能否用一个恒定的内存(即 O(1) 内存复杂度)来解决这个问题?
你能在 O(n) 的时间复杂度下解决这个问题吗?这个方法对于面试来说可能太超前了，但是你会发现阅读这篇文章（ this paper ）很有趣。

🌟 求解思路&实现代码&运行结果

⚡ 二分

🥦 求解思路

1. 题目要求在一个 n x n 的有序矩阵中，找到第 k 小的元素。矩阵的每一行和每一列都是非递减排序的。

2. 二分查找：

   • 使用二分查找的思想，在矩阵的最小值 matrix[0][0] 和最大值 matrix[n-1][n-1] 之间搜索第 k 小的元素。

   • 对于每个中间值 mid，统计矩阵中小于等于 mid 的元素个数 num。

   • 如果 num >= k，说明第 k 小的元素在左半部分，否则在右半部分。

3. 统计小于等于 mid 的元素个数：

   • 从矩阵的左下角开始，逐行统计小于等于 mid 的元素个数。

   • 如果当前元素 matrix[i][j] <= mid，则该行从 0 到 j 的元素都小于等于 mid，累加 i + 1 到 num，并向右移动 j。

   • 否则，向上移动 i。

4. 有了基本的思路，接下来我们就来通过代码来实现一下。

🥦 实现代码

class Solution {
    public int kthSmallest(int[][] matrix, int k) {
        int n = matrix.length;
        int left = matrix[0][0] - 1; // 最小值减 1
        int right = matrix[n - 1][n - 1] + 1; // 最大值加 1
        while (left + 1 < right) {
            int mid = left + ((right - left) >> 1); // 计算中间值
            if (countLessOrEqual(matrix, mid, n) >= k) {
                right = mid; // 第 k 小的元素在左半部分
            } else {
                left = mid; // 第 k 小的元素在右半部分
            }
        }
        return right; // 返回第 k 小的元素
    }

    private int countLessOrEqual(int[][] matrix, int mid, int n) {
        int i = n - 1; // 从左下角开始
        int j = 0;
        int count = 0; // 统计小于等于 mid 的元素个数
        while (i >= 0 && j < n) {
            if (matrix[i][j] <= mid) {
                count += i + 1; // 累加当前列中小于等于 mid 的元素个数
                j++; // 向右移动
            } else {
                i--; // 向上移动
            }
        }
        return count; // 返回统计结果
    }
}

🥦 运行结果

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