模糊模式识别：从贴近度到分类决策的Matlab实践

模糊模式识别是模糊数学在现实问题中的核心应用之一，其核心思想是通过量化模糊集合之间的“相似性”或“贴近度”，实现对未知模式的分类与识别。本文将从贴近度的定义出发，详解海明贴近度、欧几里得贴近度、黎曼贴近度及格贴近度的计算方法，并结合最大隶属原则与择近原则，解析模糊模式识别的完整流程。

一、贴近度的定义与分类

1.1 贴近度的数学定义

贴近度（Proximity Degree）是衡量两个模糊集合相似性的指标。设$A,B,C\in F(U)$（$F(U)$为论域$U$上所有模糊集合的集合），若映射
$$N:F(U)\times F(U)\to [0,1]$$
满足以下条件：

1. 对称性：$N(A,B)=N(B,A)$；
2. 自反性：$N(A,A)=1$，$N(U,\Phi )=0$（$\Phi$为空集）；
3. 单调性：若$A\subseteq B\subseteq C$，则 N ( A , C ) ≤ min ⁡ { N ( A , B ) , N ( B , C ) } N(A,C) \leq \min\{N(A,B), N(B,C)\} N(A,C)≤min{N(A,B),N(B,C)}；

则称$N(A,B)$为模糊集$A$与$B$的贴近度。

1.2 贴近度的主要类型

（1）海明贴近度（Hamming Proximity）

• 离散论域：
  $$N(A,B)=1-\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n|A(u_i)-B(u_i)|$$
• 连续论域（$U=[a,b]$）：
  $$N(A,B)=1-\frac{1}{b-a}{\int }_a^b|A(u)-B(u)|du$$

示例：设 U = { u 1 , u 2 , u 3 } U=\{u_1,u_2,u_3\} U={u1​,u2​,u3​}，$A=(0.3,0.8,0.5)$，$B=(0.5,0.6,0.7)$，则
$$N(A,B)=1-\frac{1}{3}(|0.3-0.5|+|0.8-0.6|+|0.5-0.7|)=1-\frac{0.6}{3}=\mathrm{0.8.}$$

（2）欧几里得贴近度（Euclidean Proximity）

• 离散论域：
  $$N(A,B)=1-\frac{1}{\sqrt{n}}\sqrt{\sum _{i=1}^n(A(u_i)-B(u_i){)}^2}$$
• 连续论域：
  $$N(A,B)=1-\frac{1}{\sqrt{b-a}}\sqrt{{\int }_a^b(A(u)-B(u){)}^{2}du}$$

特点：相比海明贴近度，欧几里得贴近度对差异较大的值更敏感。

（3）黎曼贴近度（Riemann Proximity）

• 类型1：
  $$N_1(A,B)=\frac{{\int }_{-\infty }^{\infty }(A(u)\wedge B(u))du}{{\int }_{-\infty }^{\infty }(A(u)\vee B(u))du}$$
• 类型2：
  $$N_2(A,B)=\frac{2{\int }_{-\infty }^{\infty }(A(u)\wedge B(u))du}{{\int }_{-\infty }^{\infty }A(u)du+{\int }_{-\infty }^{\infty }B(u)du}$$

示例：设$A(x)$和$B(x)$为区间$[0,100]$上的隶属函数（见图1），计算得$N_1(A,B)\approx 0.2308$，表明两者的重叠区域较小。

二、格贴近度与内积外积运算

2.1 内积与外积的定义

• 内积（Inner Product）：
  $$A\odot B=\underset{u\in U}{\bigvee }(A(u)\wedge B(u))$$
  表示两个模糊集在某一位置的最大重叠程度。

• 外积（Outer Product）：
  $$A\otimes B=\underset{u\in U}{\bigwedge }(A(u)\vee B(u))$$
  表示两个模糊集在所有位置的最小覆盖程度。

性质：

• $(A\otimes B{)}^c=A^c\odot B^c$
• $A\odot A=\overline{a}$（峰值），$A\otimes A=\underline{a}$（谷值）

2.2 格贴近度的计算

定义：格贴近度是内积与外积的组合度量：
$$N(A,B)=(A\odot B)\wedge (A\otimes B{)}^c$$

示例：设$A(x)=e^{-(\frac{x-a}{{\sigma }_1}{)}^2}$，$B(x)=e^{-(\frac{x-b}{{\sigma }_2}{)}^2}$，计算得：
$$N(A,B)=e^{-{\left(\frac{a-b}{{\sigma }_1+{\sigma }_2}\right)}^2}$$

三、模糊模式识别的核心原则

3.1 最大隶属原则（Maximum Membership Principle）

适用场景：单个样本的类别判定。
步骤：

1. 对每个类别$A_i$，计算样本$u_0$的隶属度${\mu }_{A_i}(u_0)$；
2. 选择隶属度最大的类别作为判定结果：
   $$i_0=\arg \underset{1\le i\le n}{\max }{\mu }_{A_i}(u_0)$$

示例：年龄分类问题中，定义“年轻”“中年”“老年”的隶属函数（见图2），计算得35岁的隶属度为$A_{\text{中年}}(35)=0.875$，故判定为“中年”。

3.2 择近原则（Proximity Principle）

适用场景：群体样本或复杂模式的分类。
步骤：

1. 对每个参考模式$A_i$，计算其与待识别模式$B$的贴近度$N(A_i,B)$；
2. 选择贴近度最大的类别作为判定结果：
   $$i_0=\arg \underset{1\le i\le n}{\max }N(A_i,B)$$

示例：茶叶质量分级问题中，待识别茶叶$B$与5个等级的贴近度分别为$0.5,0.3,0.2,0.2,0.1$，故判定为一级茶叶。

四、实战案例解析

4.1 案例1：年龄分类

问题：根据年龄隶属函数，判断40岁和35岁的类别归属。
步骤：

1. 定义隶属函数：

   • 年轻：
     $$A_1(x)=\{\begin{array}{ll}1,& 0<x\le 20\\ 1-2{\left(\frac{x-20}{20}\right)}^2,& 20<x\le 30\\ 2{\left(\frac{x-40}{20}\right)}^2,& 30<x\le 40\\ 0,& x>40\end{array}$$
   • 中年：$A_2(x)=1-A_1(x)-A_3(x)$
   • 老年：
     $$A_3(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x\le 50\\ 2{\left(\frac{x-50}{20}\right)}^2,& 50<x\le 60\\ 1-2{\left(\frac{x-70}{20}\right)}^2,& 60<x\le 70\\ 1,& x>70\end{array}$$

2. 计算结果：

   • $A_2(40)=1$，故40岁属于“中年”；
   • $A_2(35)=0.875$，故35岁也属于“中年”。

4.2 案例2：茶叶质量分级

问题：根据6项指标，判定待识别茶叶的等级。
步骤：

1. 建立模糊关系矩阵$R$（见表1）；
2. 计算格贴近度：
   $$N(B,A_i)=\min \left(\max (\min (A_i,B)),1-\min (\max (A_i,B))\right)$$
3. 结果：$N(B,A_1)=0.5$，$N(B,A_2)=0.3$，故判定为一级茶叶。

五、MATLAB实现代码

5.1 黎曼贴近度计算

% 定义隶属函数A(x)和B(x)
A = @(x) (x >= 20 & x < 60).*(x-20)/40 + (x >= 60 & x <= 100);
B = @(x) (x >= 0 & x < 40) + (x >= 40 & x < 80).*(80 - x)/40;

% 计算交集与并集的积分
C = @(x) min(A(x), B(x));
D = @(x) max(A(x), B(x));

% 计算黎曼贴近度N1
N1 = integral(C, 0, 100) / integral(D, 0, 100);

5.2 格贴近度计算

a = [0.5, 0.4, 0.3, 0.6, 0.5, 0.4];
b = [0.4, 0.2, 0.1, 0.4, 0.5, 0.6];

% 计算内积与外积
inner = max(min(a, b));
outer = min(max(a, b));

% 计算格贴近度
N = min(inner, 1 - outer);

六、总结

模糊模式识别的核心在于通过贴近度量化相似性，并基于最大隶属原则或择近原则进行分类决策。本文详解了四种贴近度的计算方法，并结合年龄分类、茶叶分级等案例，展示了模糊数学在模式识别中的实际应用。通过MATLAB代码实现，进一步验证了理论的可行性。模糊模式识别为处理不确定性问题提供了强有力的工具，尤其在图像识别、自然语言处理等领域具有广阔前景。