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傅里叶变换推导

article 2025/2/19 14:54:23

基本模型

假设在二维直角坐标系中， $\underset{C}{\rightarrow}$ 可以用相互垂直的基向量 $\underset{A_1}{\rightarrow}$ 和 $\underset{A_2}{\rightarrow}$ 表示：

假设：

$\overrightarrow{A_1} = [1, 0]$

$\overrightarrow{A_2} = [0, 1]$

$\overrightarrow{C} = [2, 3]$

假设 $\overrightarrow{C}$ 在 $\overrightarrow{A_1}$ 上的投影为 $T_{\overrightarrow A_1}^{\overrightarrow C}$ ，那么：

$T_{\overrightarrow A_1}^{\overrightarrow C} = \overrightarrow{C} \cdot \overrightarrow{A_1} = 2*1 + 3*0 = 2$

$T_{\overrightarrow A_2}^{\overrightarrow C} = \overrightarrow{C} \cdot \overrightarrow{A_2} = 2*0 + 3*1 = 3$

所以：

$\overrightarrow{C} = 2\overrightarrow{A_1} + 3\overrightarrow{A_2}$

用公式表达：

$\overrightarrow{C} = k_{1}\overrightarrow{A_1} + k_{2}\overrightarrow{A_2}$

$k_1 = T_{\overrightarrow A_1}^{\overrightarrow C} = \overrightarrow C \cdot \overrightarrow A_1$

$k_2 = T_{\overrightarrow A_2}^{\overrightarrow C} = \overrightarrow C \cdot \overrightarrow A_2$

但是在实际中，基向量 $\underset{A_1}{\rightarrow}$ 和 $\underset{A_2}{\rightarrow}$ 不一定长度都是1，重新推导一下：

假设：

$\overrightarrow{A_1} = [5, 0]$

$\overrightarrow{A_2} = [0, 7]$

$\overrightarrow{C} = [2, 3]$

那么：

$k_1 = T_{\overrightarrow A_1}^{\overrightarrow C} = \frac { | \overrightarrow C | cos\theta } {| \overrightarrow A_1 |}$

两边乘以 $| \overrightarrow A_1 |$ ：

$k_1 = \frac { | \overrightarrow A_1 | | \overrightarrow C | cos\theta } {| \overrightarrow A_1 | ^2}$

分子部分其实就是求 $\overrightarrow{C}$ 在 $\overrightarrow{A_1}$ 上的投影与 $| \overrightarrow{A_1} |$ 的乘积，所以：

$k_1 = \frac { \overrightarrow A_1 \cdot \overrightarrow C } {| \overrightarrow A_1 | ^2}$

带入数据：

$k_1 = \frac {[5,0] \cdot [2, 3]}{\sqrt{5^2+0^0}^2} = \frac{5*2+0*3}{25} = \frac{2}{5}$
大功告成。

结论：

$\overrightarrow{C} = k_{1}\overrightarrow{A_1} + k_{2}\overrightarrow{A_2}$

$k_1 = T_{\overrightarrow A_1}^{\overrightarrow C} = \frac {\overrightarrow C \overrightarrow A_1}{|\overrightarrow A_1|^2}$

$k_2 = T_{\overrightarrow A_2}^{\overrightarrow C} = \frac {\overrightarrow C \overrightarrow A_2}{|\overrightarrow A_2|^2}$

从二维到无限维

二维模型如下：

向量	维度1的投影	维度2的投影
$\overrightarrow{C}$	2	3
$\overrightarrow{A_1}$	1	0
$\overrightarrow{A_2}$	0	1

扩展到三维：

向量	维度1的投影	维度2的投影	维度3的投影
$\overrightarrow{C}$	c1	c2	c3
$\overrightarrow{A_1}$	1	0	0
$\overrightarrow{A_2}$	0	1	0
$\overrightarrow{A_3}$	0	0	1

可以看到， $\overrightarrow{C}$ 有多少个维度就要有多少个基向量，每个基向量的维度和 $\overrightarrow{C}$ 相等。

扩展到无限维：

向量	维度1的投影	维度2的投影	维度3的投影	维度n的投影
$\overrightarrow{C}$	c1	c2	c3	cn
$\overrightarrow{A_1}$	1	0	0	0
$\overrightarrow{A_2}$	0	1	0	0
$\overrightarrow{A_3}$	0	0	1	0
$\overrightarrow{A_n}$	0	0	0	1

把函数当成无限维向量

把函数的t当成无限维，它的值分布在各自的维度上：

函数	$t_0$	$t_1$	$t_2$	$t_n$
$f(t)$	$f(t_0)$	$f(t_1)$	$f(t_2)$	$f(t_n)$
$f_1(t)$	$f_1(t_0)$	$f_1(t_1)$	$f_1(t_2)$	$f_1(t_n)$
$f_2(t)$	$f_2(t_0)$	$f_2(t_1)$	$f_2(t_2)$	$f_2(t_n)$
$f_3(t)$	$f_3(t_0)$	$f_3(t_1)$	$f_3(t_2)$	$f_3(t_n)$
$f_n(t)$	$f_n(t_0)$	$f_n(t_1)$	$f_n(t_2)$	$f_n(t_n)$

于是：

$f(t) = k_1f_1(t) + k_2f_2(t) + ... + k_nf_n(t)$

$f(t) = \sum_{i=0}^{n} k_{i}f_i(t)$

这里有个容易让人困惑的点：

前面的各个基向量都是这样的：

向量	维度1的投影	维度2的投影	维度3的投影	维度n的投影
$\overrightarrow{A_1}$	1	0	0	0
$\overrightarrow{A_2}$	0	1	0	0
$\overrightarrow{A_3}$	0	0	1	0
$\overrightarrow{A_n}$	0	0	0	1

每个向量只在自己的维度有值，在别的维度为0。

那现在的函数在别的维度上等于0吗？

不一定，但是没错。

首先各个维度的基向量是正交（垂直）的，比如：

$T_{\overrightarrow{A_3}}^{\overrightarrow{A_1}} = \frac { \overrightarrow{A_1} \cdot \overrightarrow{A_3}} {|\overrightarrow{A_3}|^2} = \frac { [1,0,0] \cdot [0,0,1] }{\sqrt{0^2+0^2+3^2}^2} = 0$

这里的函数其实也是正交的：

$T_{f_3(t)}^{f_1(t)} = \frac { f_1(t) \cdot f_3(t) }{f_3(t) \cdot f_3(t)} = \frac { \sum_{0}^{t_n} f_1(t)f_3(t) } { \sum_{0}^{t_n} f_3(t)f_3(t) }$

两边乘以 $dt$ ：

$T_{f_3(t)}^{f_1(t)} = \frac { \frac { \int_{0}^{t_n} f_1(t)f_3(t) dt } {dt} } { \frac { \int_{0}^{t_n} f_3(t)f_3(t) dt } {dt} } = \frac {\int_{0}^{t_n} f_1(t)f_3(t) dt}{\int_{0}^{t_n} f_3(t)f_3(t) dt}$

在傅里叶变换中：

各个基函数= $sin(nw_0t)+cos(nw_0t)$

其中 $w_0$ 是步长的意思，任你选取，n=1,2,...

总的意思就是f(t)可以表示成很多正交的、不同频率（一个频率就是一个维度）的三角函数之和。

可以证明：

$sin(nw_0t)$ 与 $sin(kw_0t)$ 正交， $sin(nw_0t)$ 与 $cos(kw_0t)$ 正交。

于是：

$f_1(t) = sin(w_0t)$

$f_3(t) = sin(3w_0t)$

$T_{f_3(t)}^{f_1(t)} = \frac {\int_{0}^{t_n} f_1(t)f_3(t) dt}{\int_{0}^{t_n} f_3(t)f_3(t) dt} = 0$

好了， $f_i(t)$ 已知了， $k_i$ 怎么求？

由前面的公式：

$k_1 = T_{\overrightarrow A_1}^{\overrightarrow C} = \frac {\overrightarrow C \overrightarrow A_1}{|\overrightarrow A_1|^2}$

可以推导出：

$k_1 = T_{f_1(t)}^{f(t)} = \frac {f(t) \cdot f_1(t) }{f_1(t) \cdot f_1(t)} = \frac { \sum_{t=0}^{t_n}f(t) \cdot f_1(t) }{ \sum_{t=0}^{t_n} f_1(t) \cdot f_1(t)}$