一口井深7米，一只蜗牛从井底往上爬每天爬3米掉下去1米，问几天能爬上井口？
一个井深7米，一只蜗牛从井底往上爬每天爬3米掉下去1米，问几天能爬上井口？
1. 通用解法
构建一个通用的解法，适用于任何井深和蜗牛的爬升、下滑距离。
问题描述：
- 井深为 H H H 米。
- 蜗牛每天向上爬升 U U U 米。
- 每天晚上会下滑 D D D 米。
- 问蜗牛需要多少天才能爬出井口？
解决思路：
关键在于计算蜗牛在第 N N N 天攀爬后是否已经达到或超过井口高度 H H H。在这之前，每天的净上升高度是 U − D U - D U−D 米。
注意，当蜗牛在第 N N N 天攀爬时，如果它在白天的爬升过程中已经达到或超过井口高度 H H H，那么它就成功了，这一天不需要再计算下滑。
步骤：
-
判断是否一次就能爬出井口：
- 如果 U ≥ H U \geq H U≥H，那么蜗牛在第一天的白天就能爬出井口。
- 这种情况下，蜗牛需要 1天。
-
对于 U < H U < H U<H 的情况：
-
蜗牛每天的净上升高度为 U − D U - D U−D 米（除了最后一天，因为最后一天不会再下滑）。
-
第 N N N 天之前，蜗牛每天结束时的累计高度为：
累计高度 = ( U − D ) × ( N − 1 ) \text{累计高度} = (U - D) \times (N - 1) 累计高度=(U−D)×(N−1) -
第 N N N 天，蜗牛再向上爬 U U U 米，达到：
总高度 = ( U − D ) × ( N − 1 ) + U \text{总高度} = (U - D) \times (N - 1) + U 总高度=(U−D)×(N−1)+U -
当总高度 大于或等于 井深 H H H 时，蜗牛爬出井口。
-
-
建立不等式求解 N N N：
- 不等式：
( U − D ) × ( N − 1 ) + U ≥ H (U - D) \times (N - 1) + U \geq H (U−D)×(N−1)+U≥H - 解这个不等式，求 N N N 的最小整数值。
- 不等式：
数学推导：
从以上不等式开始：
(
U
−
D
)
(
N
−
1
)
+
U
≥
H
⇒
(
U
−
D
)
(
N
−
1
)
≥
H
−
U
⇒
N
−
1
≥
H
−
U
U
−
D
⇒
N
≥
H
−
U
U
−
D
+
1
\begin{align*} & (U - D)(N - 1) + U \geq H \\ \Rightarrow & (U - D)(N - 1) \geq H - U \\ \Rightarrow & N - 1 \geq \frac{H - U}{U - D} \\ \Rightarrow & N \geq \frac{H - U}{U - D} + 1 \end{align*}
⇒⇒⇒(U−D)(N−1)+U≥H(U−D)(N−1)≥H−UN−1≥U−DH−UN≥U−DH−U+1
因为天数
N
N
N 必须是整数，所以我们需要取不小于右边结果的最小整数，即对结果取上取整（向上取整，天数不能是小数）。
因此，通用公式为：
N
=
⌈
H
−
U
U
−
D
⌉
+
1
N = \left\lceil \frac{H - U}{U - D} \right\rceil + 1
N=⌈U−DH−U⌉+1
其中， ⌈ x ⌉ \left\lceil x \right\rceil ⌈x⌉ 表示对 x x x 向上取整。
示例应用：
以题目中的数据为例：
- 井深 H = 7 H = 7 H=7 米
- 每天向上爬 U = 3 U = 3 U=3 米
- 每晚下滑 D = 1 D = 1 D=1 米
代入公式：
N
=
⌈
H
−
U
U
−
D
⌉
+
1
=
⌈
7
−
3
3
−
1
⌉
+
1
=
⌈
4
2
⌉
+
1
=
⌈
2
⌉
+
1
=
2
+
1
=
3
\begin{align*} N & = \left\lceil \frac{H - U}{U - D} \right\rceil + 1 \\ & = \left\lceil \frac{7 - 3}{3 - 1} \right\rceil + 1 \\ & = \left\lceil \frac{4}{2} \right\rceil + 1 \\ & = \left\lceil 2 \right\rceil + 1 \\ & = 2 + 1 \\ & = 3 \end{align*}
N=⌈U−DH−U⌉+1=⌈3−17−3⌉+1=⌈24⌉+1=⌈2⌉+1=2+1=3
因此，蜗牛需要 3天 爬出井口。
验证：
-
第1天结束后：
- 向上爬 3 3 3 米，达到 3 3 3 米高度。
- 下滑 1 1 1 米，结束在 2 2 2 米高度。
-
第2天结束后：
- 向上爬 3 3 3 米，从 2 2 2 米达到 5 5 5 米。
- 下滑 1 1 1 米，结束在 4 4 4 米高度。
-
第3天白天：
- 向上爬 3 3 3 米，从 4 4 4 米达到 7 7 7 米，达到井口，成功爬出。
总结：
通过上述通用公式，我们可以快速计算任何情况下蜗牛爬出井口所需的天数，而不需要逐日列举。
关于公式的说明：
-
当 U ≥ H U \geq H U≥H 时：
- 蜗牛一天就能爬出井口， N = 1 N = 1 N=1。
-
当 U < H U < H U<H 时：
-
计算 H − U U − D \frac{H - U}{U - D} U−DH−U：
- 分子 H − U H - U H−U 表示在最后一天之前需要攀爬的总高度。
- 分母 U − D U - D U−D 表示每天的净上升高度。
-
通过取上整，确保天数 N N N 是整数，并且满足蜗牛能达到或超过井口高度。
-
答： 蜗牛需要 3天 爬出井口。
2. 拓展示例
对井深 H = 8 H = 8 H=8米的情况进行详细的计算，使用之前推导的通用公式，确保理解过程并验证结果。
已知条件：
- 井深 H = 8 H = 8 H=8米。
- 蜗牛每天向上爬升 U = 3 U = 3 U=3米。
- 每天晚上下滑 D = 1 D = 1 D=1米。
目标：
求蜗牛需要多少天才能爬出井口，即计算天数$N )。
步骤：
-
判断是否一次就能爬出井口：
- 由于 U = 3 U = 3 U=3米，( H = 8 米，且 米，且 米，且U < H )，所以蜗牛无法在一天内爬出井口，需要多天攀爬。
-
计算每天的净上升高度：
- 蜗牛每天的净上升高度为：
Δ h = U − D = 3 − 1 = 2 米 \Delta h = U - D = 3 - 1 = 2 \text{ 米} Δh=U−D=3−1=2 米
- 蜗牛每天的净上升高度为：
-
建立不等式求解$N )：
- 在第
N
N
N天之前，蜗牛每天结束时的累计高度为：
h 累计 = ( U − D ) × ( N − 1 ) h_{\text{累计}} = (U - D) \times (N - 1) h累计=(U−D)×(N−1) - 第
N
N
N天，蜗牛向上爬
U
U
U米，达到总高度：
h 总 = h 累计 + U = ( U − D ) ( N − 1 ) + U h_{\text{总}} = h_{\text{累计}} + U = (U - D)(N - 1) + U h总=h累计+U=(U−D)(N−1)+U - 当 h 总 ≥ H h_{\text{总}} \geq H h总≥H时，蜗牛爬出井口。
- 建立不等式：
( U − D ) ( N − 1 ) + U ≥ H (U - D)(N - 1) + U \geq H (U−D)(N−1)+U≥H
- 在第
N
N
N天之前，蜗牛每天结束时的累计高度为：
-
求解不等式：
( U − D ) ( N − 1 ) + U ≥ H ( 2 ) ( N − 1 ) + 3 ≥ 8 2 N − 2 + 3 ≥ 8 2 N + 1 ≥ 8 2 N ≥ 7 N ≥ 7 2 N ≥ 3.5 \begin{align*} (U - D)(N - 1) + U &\geq H \\ (2)(N - 1) + 3 &\geq 8 \\ 2N - 2 + 3 &\geq 8 \\ 2N + 1 &\geq 8 \\ 2N &\geq 7 \\ N &\geq \frac{7}{2} \\ N &\geq 3.5 \end{align*} (U−D)(N−1)+U(2)(N−1)+32N−2+32N+12NNN≥H≥8≥8≥8≥7≥27≥3.5
-
取最小整数$N )：
- 由于天数
N
N
N必须是整数，并且蜗牛只有在第
N
N
N天白天爬升后才能爬出井口，所以需要取不小于
3.5
3.5
3.5的最小整数：
N = ⌈ 3.5 ⌉ = 4 N = \left\lceil 3.5 \right\rceil = 4 N=⌈3.5⌉=4 - 因此，蜗牛需要 4天 才能爬出井口。
- 由于天数
N
N
N必须是整数，并且蜗牛只有在第
N
N
N天白天爬升后才能爬出井口，所以需要取不小于
3.5
3.5
3.5的最小整数：
使用通用公式验证：
之前推导的通用公式为：
N = ⌈ H − U U − D ⌉ + 1 N = \left\lceil \frac{H - U}{U - D} \right\rceil + 1 N=⌈U−DH−U⌉+1
代入已知数值：
-
计算 H − U H - U H−U：
H − U = 8 − 3 = 5 米 H - U = 8 - 3 = 5 \text{ 米} H−U=8−3=5 米
-
计算 U − D U - D U−D：
U − D = 3 − 1 = 2 米 U - D = 3 - 1 = 2 \text{ 米} U−D=3−1=2 米
-
计算 H − U U − D \frac{H - U}{U - D} U−DH−U：
H − U U − D = 5 2 = 2.5 \frac{H - U}{U - D} = \frac{5}{2} = 2.5 U−DH−U=25=2.5
-
取上取整并加1：
N = ⌈ 2.5 ⌉ + 1 = 3 + 1 = 4 N = \left\lceil 2.5 \right\rceil + 1 = 3 + 1 = 4 N=⌈2.5⌉+1=3+1=4
结果与不等式求解得到的 N = 4 N = 4 N=4一致。
逐日验证：
为了确保计算的正确性，我们可以模拟蜗牛的每日攀爬情况：
-
第1天：
- 白天向上爬 3 3 3米：从 0 0 0米到达 3 3 3米。
- 晚上下滑 1 1 1米：从 3 3 3米滑到 2 2 2米。
-
第2天：
- 白天向上爬 3 3 3米：从 2 2 2米到达 5 5 5米。
- 晚上下滑 1 1 1米：从 5 5 5米滑到 4 4 4米。
-
第3天：
- 白天向上爬 3 3 3米：从 4 4 4米到达 7 7 7米。
- 晚上下滑 1 1 1米：从 7 7 7米滑到 6 6 6米。
-
第4天：
- 白天向上爬 3 3 3米：从 6 6 6米到达 9 9 9米。
此时，蜗牛在白天爬升后达到 9 9 9米，已经超过井口高度 H = 8 H = 8 H=8米，成功爬出井口，不会再下滑。
结论：
蜗牛需要 4天 爬出井口。
总结：
通过使用通用公式和不等式求解，我们得到了蜗牛需要的天数 N = 4 N = 4 N=4。逐日验证也证明了这一结果的正确性。这种方法适用于任何井深 H H H和爬升、下滑距离 U U U和 D D D的情况，可以快速、准确地计算蜗牛爬出井口所需的天数。
答： 蜗牛需要 4天 爬出井口。