联合概率：定义、公式和示例

一、关键要点

联合概率是一种统计度量，用于计算两个事件同时发生的可能性。
这两个事件必须彼此独立。
联合概率也称为两个或多个事件的交集。
它与条件概率不同，条件概率是指当另一个事件发生时一个事件发生的概率。
您可以使用维恩图可视化联合概率。

二、什么是联合概率？

术语联合概率是指一种统计度量，用于计算两个事件在同一时间点同时发生的可能性。简单地说，联合概率是事件 Y 在事件 X 发生的同时发生的概率。为了使联合概率起作用，两个事件必须彼此独立，这意味着它们不是有条件的或不相互依赖。联合概率可以使用 Venn 图可视化。

三、联合概率的公式和计算

联合概率的表示法可以有几种不同的形式。以下公式表示事件交集的概率：
$$P(X\bigcap Y)$$
这里：
X，Y=两个相交的不同事件
P（X and Y），P（X， Y）=X 和 Y 的联合概率
​注意：尽管联合概率可以帮助您确定两个不同事件同时发生的可能性，但它并不表示这两个事件如何相互影响。

四、联合概率告诉你什么？

概率是一个与统计学密切相关的领域，它处理事件或现象发生的可能性。它被量化为 0 到 1 之间的数字，其中 0 表示不可能发生的机会，1 表示事件的确定结果。

例如，从一副牌中抽到红牌的概率是 1/2 = 0.5。这意味着抽到红牌和黑牌的机会相等，因为一副牌中各有 26 张。因此，抽到红牌和黑牌的概率为 50-50。

联合概率衡量同时发生的两个事件。它只能应用于可以同时发生多个观测值的情况。因此，从一副牌中挑选一张既是红色又是 6 的牌的联合概率是 P（6 ∩ red） = 2/52 = 1/26，因为一副牌有两个红色的 6——红桃 6 和方块 6。由于事件 red 和 6 是独立的，因此您还可以使用以下公式来计算联合概率：
$$P(6\cap red)=P(6)\times P(red)=4/52\times 26/52=1/26$$
联合概率中的符号 “∩” 称为交集。事件 X 和事件 Y 发生的概率与 X 和 Y 相交的点相同。因此，联合概率也称为两个或多个事件的交集。维恩图可能是解释交叉点的最佳可视化工具：

从上面的维恩图来看，两个圆圈重叠的点是交集，它有两个观测值：红心 6 和菱形 6。

五、联合概率与条件概率

联合概率不应与条件概率混淆，条件概率是指在另一个动作或事件发生的情况下，一个事件发生的概率。条件概率公式如下：

$$P（X，givenY）或P（X\mid Y)$$

也就是说，一个事件发生的几率是以另一个事件发生的条件。例如，在一副牌中，如果您抽到一张红牌，您获得 6 的概率是 P（6│red） = 2/26 = 1/13，因为 26 张红牌中有 2 个 6。

联合概率仅考虑两个事件发生的可能性。条件概率可用于计算联合概率，如以下公式所示：

$$P（X\cap Y）=P（X\mid Y）\times P（Y)$$

A 和 B 发生的概率是 X 发生的概率，假设 Y 发生乘以 Y 发生的概率。给定此公式，同时抽到 6 和红色的概率如下：

$$P（6\cap red）=P（6\mid red）\times P（red)=1/13\times 26/52=1/13\times 1/2=1/26$$
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统计学家和分析师在两个或多个可观察事件可以同时发生时使用联合概率作为工具。例如，联合概率可用于估计道琼斯工业平均指数 （DJIA） 下跌伴随 Microsoft 股价下跌的可能性，或者石油价值上涨而美元走弱的可能性。

注意：联合概率取决于两个事件彼此独立地作用。要确定他们是否真正独立，重要的是要确定一个人的结果是否会影响另一个人。如果它们这样做，则它们是依赖的，这意味着它们会导致条件概率。如果他们没有，你最终会得到联合概率。

六、联合概率示例

让我们重点介绍另一个示例，以说明联合概率的工作原理。这个例子使用骰子，我们想找出当你掷骰子时，你在每个骰子上掷出 4 的概率是多少。请记住，每个面都有六个面。

为了确定联合概率，我们首先需要确定每次掷骰子的概率：

在第一个骰子上掷出 3 的几率是 1/6
在第二个骰子上掷出 3 的几率是 1/6
现在我们可以使用上面提到的联合概率公式，通过将每个单独的事件相乘来计算出该事件的联合概率是多少。

1/6 x 1/6 = 1/36

这意味着有 1/36 的机会使用一对骰子掷出两个 4。

• 联合概率的目的是什么？
  联合概率是一种统计度量，它告诉您两个事件同时发生的可能性。您可以使用它来确定

• 联合概率的条件是什么？
  必须满足某些条件才能发生联合概率。第一个条件是所讨论的两个事件必须同时发生。另一个条件是两个事件必须彼此独立地发生。因此，结果不会相互影响。

• 联合概率可以大于 1 吗？
  不可以，联合概率永远不能大于 1。联合概率介于 0 和 1 之间，其中 0 表示两个事件同时发生的可能性是不可能的，而 1 表示它们的结果是确定的。

七、重要要点

概率是指事件发生的可能性。但是当涉及两个变量时，您可能具有联合概率。这是一个统计度量值，可以告诉您两个独立的事件是否可能同时发生。对于使用它来确定两组变量之间关系的统计学家来说，它是一个重要的指标，例如两家不同公司的回报或天气预报中的大风和降雨。但是，它没有表明一件事是两者如何相互影响的。