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【抽象代数】1.2. 半群与群

article 2025/2/22 0:09:09

群的定义

群=非空集合+二元运算+性质

定义1. 设 G 为一个非空集合，G上有二元运算\circ，满足结合律，则称\left \{ G_j, \circ \right \}或G为一个半群。

定义2. 设 \left \{ G_j, \circ \right \} 为半群，若元素 e_1 \in G 满足 \forall a \in G, e_1 \circ a = a，则称 e_1 为 G 的左幺元（右幺元：e_2 \in G, \forall a, a \circ e_2=a），若 e\in G 既是左幺元又是右幺元，则为幺元，G 为幺元群。

定义3. 设 \left \{ G_j, \circ \right \} 为幺半群，e为幺元，a\in G，若元素 {a}' 满足 {a}' \circ a=e，则称 a' 为 a 的左逆元。

定义4（群的第一种定义）. 幺半群 G 中的每两个元素都可逆，G 称为群。

  1. G 对 \circ 封闭
  2. \circ 满足结合律 a \circ (b \circ c)=(a\circ b)\circ c
  3. G 存在幺元 e:e \circ a=a\circ e=a, \forall a \in G
  4. \forall a \in G,a存在逆元：\exists b 使得 a\circ b=b\circ a=e

定义5（群的第二/三种定义）. 幺半群 G 中的每两个元素都可逆，G 称为群。

  1. G 对 \circ 封闭
  2. \circ 满足结合律 a \circ (b \circ c)=(a\circ b)\circ c
  3. G 存在左/右幺元 e:e \circ a/a\circ e=a, \forall a \in G
  4. \forall a \in G,a存在左/右逆元：\exists b 使得 a\circ b/b\circ a=e

命题1. 幺半群中的幺元唯一。

命题2. 设 G 为群，则 G 中任一元的逆元唯一。

群的基本性质

命题3. 群：满足左右消去律

命题4. 设 G 为群，则对任何a,b \in G，方程ax=b,xa=b都存在唯一解。

命题5（群的第四种定义）. 设 G 为半群，若\forall a,b \in G,ax=b,xa=b都有解，则G为群。

命题6. 有限半群G'若满足左右消去律，则G为群。

定义6. 设 G 为群，G 的阶指 G 中元素的个数，记号 |G|，|G|<\infty时，称为有限群，|G|=\infty时，称为无限群。

定义7.  设 G 为群，a\in G，若\forall n \in N, a^n\neq e，称a的阶为无穷；若至少存在一个m \in N,a^m=e，则称a的阶为min{k\in N|a^k=e}。

命题7. 设 G 为群，a\in G，则称a的阶为无穷，即a^m\neq a^n, \forall m,n \in Z, m\neq n。

命题8. 设 G' 为群，a\in G，则称a的阶为d，则：

  1. a^k=e\Leftrightarrow d|k
  2. a^k=a^h\Leftrightarrow d|h-k\left ( a^k=a^h\Leftrightarrow a^{k-h}=e \right )

命题9. 设 G 为群，a\in G，a的阶为d，则：

  1. a的阶为d/(d,k)，最大公因数(k>0)
  2. a的阶为d\Leftrightarrow (d,k)=1

命题10. 设 G 为群，a,b\in G，a的阶为m，b的阶为n，且ab=ba,(m,n)=1，则a,b的阶为m,n。


http://www.kler.cn/a/550125.html

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