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计算机考研之数据结构：深入解析最大公约数与欧几里得算法

article 2025/2/21 21:25:51

一、生活中的公约数应用

在日常生活中，经常需要处理"均分分配"问题。例如：要将24块巧克力和18块饼干平均分给小朋友，最多能分给几个小朋友？这就是典型的求最大公约数问题。

二、基本概念详解

约数与公约数
- 约数：如果一个整数能整除另一个整数（如3是6的约数），则称为约数
- 公约数：两个数的公共约数（如12和18的公约数是1, 2, 3, 6）
最大公约数（GCD）公约数集合中的最大数，记为 gcd(a,b)。例如：

gcd(12,18) = 6 
gcd(9,14) = 1（互质）

三、欧几里得算法原理解析

古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中提出的算法，基于以下核心发现：

关键定理： gcd(a,b) = gcd(b, a mod b)
（a > b，当 a < b 时交换即可）

直观理解： 假设 d 是 a 和 b 的公约数，则：

d能整除a → a = kd
d能整除b → b = md 此时余数r = a - qb = kd - q(md) = (k - qm)d → d也是r的约数

过程演示： 求 gcd(46,24)

步骤1：46 ÷ 24 = 1 余22 → gcd(24,22)
步骤2：24 ÷ 22 = 1 余2 → gcd(22,2)
步骤3：22 ÷ 2 = 11 余0 → gcd(2,0)
终止条件：当余数为0时，当前除数是2 → 最大公约数

四、算法实现详解

递归版

int gcd(int a, int b) {
    if (b == 0)   // 基线条件：当余数为0时返回当前除数 
        return a;
    return gcd(b, a % b); // 递归调用缩小问题规模 
}

执行流程示例：gcd(46,24)

调用栈展开：
gcd(46,24) → gcd(24,22) → gcd(22,2) → gcd(2,0)
返回值回溯：2 ← 2 ← 2 ← 2

迭代版本

int gcd(int a, int b) {
    while(b != 0) {
        int temp = a;  // 临时保存被除数 
        a = b;         // 除数变为新的被除数 
        b = temp % b;  // 计算新余数 
    }
    return a;         // 当余数为0时返回 
}

执行过程追踪表（以gcd(46,24)为例）：

循环次数	a	b	temp	新a	新b
初始值	46	24	-	-	-
第1次循环	24	22	46	24	46%24=22
第2次循环	22	2	24	22	24%22=2
第3次循环	2	0	22	2	22%2=0

五、数学原理证明

设 $a = q b + r$ （q为商，r为余数）

公约数传递性
若 d 是 a 和 b 的公约数，则：
d | a → a = kd
d | b → b = md
余数r = a - qb = kd - q(md) = d(k - qm) → d | r
公约数等价性
gcd(a,b) 与 gcd(b,r) 的公约数集合完全相同，因此最大公约数必然相等
有限性保证
余数序列严格递减：r₁ > r₂ > … > 0，必然在有限步后得到0

六、边界条件处理

0的特殊处理
当b=0时，gcd(a,0)=a（任何数与0的最大公约数是其自身）
负数处理
算法默认处理正整数，若输入负数可取其绝对值：

int gcd(int a, int b) {
    a = abs(a);
    b = abs(b);
    // 原有算法逻辑 
}

七、复杂度分析

时间复杂度： $O(\log \min(a,b))$

每次迭代余数至少减半，例如求 $\text{gcd}(F_n, F_{n-1})$ 需要 $n - 2$ 次迭代（斐波那契数最坏情况）

空间复杂度：

递归版本： $O(\log n)$ （调用栈深度）
迭代版本： $O (1)$

八、实际应用场景

分数化简：如将 18/24 化简为 3/4，需用 gcd(18,24)=6 约分
密码学基础：RSA加密算法中需计算模反元素，依赖于互质条件
图形学计算：屏幕分辨率比例简化（如16:9→gcd(16,9)=1）

九、算法优化扩展

1. 二进制GCD算法

通过位移操作加速：

int binary_gcd(int a, int b) {
    if (b == 0) return a;
    if ((a & 1) == 0) {
        if ((b & 1) == 0) 
            return binary_gcd(a >> 1, b >> 1) << 1;
        else 
            return binary_gcd(a >> 1, b);
    } else {
        if ((b & 1) == 0)
            return binary_gcd(a, b >> 1);
        else 
            return binary_gcd(b, a > b ? a - b : b - a);
    }
}

2. 扩展欧几里得算法

在求gcd的同时求解贝祖等式：ax + by = gcd(a,b)