第150场双周赛：好数字之和、分割正方形 Ⅰ、分割正方形 Ⅱ、最短匹配字符串
Q1、好数字之和
1、题目描述
给定一个整数数组 nums 和一个整数 k，如果元素 nums[i] 严格 大于下标 i - k 和 i + k 处的元素（如果这些元素存在），则该元素 nums[i] 被认为是 好 的。如果这两个下标都不存在，那么 nums[i] 仍然被认为是 好 的。
返回数组中所有 好 元素的 和。
2、解题思路
遍历 nums 数组，检查每个元素是否满足 好 元素的定义，满足条件就累加到结果 ret 中。
具体步骤：
- 初始化
ret = 0用于存储所有 好 元素的和。 - 遍历数组
nums，对每个元素nums[i]：- 如果
i - k不存在，则nums[i]只需满足nums[i] > nums[i + k]（如果i + k存在）。 - 如果
i + k不存在，则nums[i]只需满足nums[i] > nums[i - k]（如果i - k存在）。 - 如果
i - k和i + k都存在，则nums[i]需要满足：nums[i] > nums[i - k]nums[i] > nums[i + k]
- 满足条件的
nums[i]加入ret。
- 如果
- 返回
ret。
3、代码实现
class Solution {
public:
int sumOfGoodNumbers(vector<int>& nums, int k) {
int ret = 0; // 用于存储所有"好"元素的总和
int n = nums.size(); // 数组长度
// 遍历数组
for (int i = 0; i < n; ++i) {
// 检查 nums[i] 是否满足 "好" 元素的定义
// 如果 i-k 不存在, 跳过检查; 否则 nums[i] > nums[i - k]
// 如果 i+k 不存在, 跳过检查; 否则 nums[i] > nums[i + k]
if ((i - k < 0 || nums[i] > nums[i - k]) && (i + k >= n || nums[i] > nums[i + k])) {
ret += nums[i]; // 计算 "好" 元素的和
}
}
return ret;
}
};
4、复杂度分析
时间复杂度： O(n)，因为我们只需要遍历 nums 一次，每个元素的检查都是 O(1) 。
空间复杂度： O(1)，我们仅仅使用了一个额外变量 ret 存储结果。
Q2、分割正方形 Ⅰ
1、题目描述
给你一个二维整数数组 squares ，其中 squares[i] = [xi, yi, li] 表示一个与 x 轴平行的正方形的左下角坐标和正方形的边长。
找到一个最小的 y 坐标，它对应一条水平线，该线需要满足它以上正方形的总面积 等于 该线以下正方形的总面积。
答案如果与实际答案的误差在 10-5 以内，将视为正确答案。
注意：正方形 可能会 重叠。重叠区域应该被 多次计数 。
2、解题思路
1. 计算搜索范围
首先，我们需要确定 y 的 上下边界：
down（最小的 y）：所有正方形左下角y的最小值。up（最大的 y）：所有正方形的最高点y + l的最大值。
这样，答案 mid 必须在 down ~ up 之间。
2. 计算总面积
遍历所有正方形，计算它们的总面积：
totalArea = ∑ side 2 \text{totalArea} = \sum \text{side}^2 totalArea=∑side2
目标是找到一条水平线，使得：
上半部分面积 = 下半部分面积 = totalArea 2 \text{上半部分面积} = \text{下半部分面积} = \frac{\text{totalArea}}{2} 上半部分面积=下半部分面积=2totalArea
3. 二分查找水平线
二分查找 mid（即 y 轴上的某个水平线）：
- 计算 该水平线以下的面积
areaBelow。 - 如果
areaBelow大于等于totalArea / 2，说明mid过大，应该尝试更小的mid，即 上界up = mid。 - 否则，说明
mid过小，应该尝试更大的mid，即 下界down = mid。
终止条件：up - down <= 1e-5（精度要求）。
4. 计算 mid 以下的面积
对于每个正方形：
- 判断是否完全位于
mid之下：- 如果
y + l <= mid，整个正方形都在mid以下，直接加上l × l的面积。
- 如果
- 部分位于
mid之下：- 计算
height = min(mid - y, l)（mid线以下的部分）。 - 这部分面积为
height × l。
- 计算
3、代码实现
class Solution {
public:
double separateSquares(vector<vector<int>>& squares) {
// 如果没有正方形, 返回 0.0
if (squares.empty()) {
return 0.0;
}
// 初始化上下界
double down = static_cast<double>(squares[0][1]); // 最小的 y 值
double up = static_cast<double>(squares[0][1] + squares[0][2]); // 最大的 y+l 值
double totalArea = 0.0; // 总面积
// 计算最小/最大 y 值 和 总面积
for (const auto& v : squares) {
double y = static_cast<double>(v[1]); // 左下角的 y 坐标
double l = static_cast<double>(v[2]); // 正方形边长
down = min(down, y); // 更新最小 y
up = max(up, y + l); // 更新最大 y
totalArea += l * l; // 计算总面积
}
// 二分查找
while (up - down > 1e-5) {
double mid = (up + down) / 2.0; // 计算中点
double areaBelow = 0.0; // mid 线以下的面积
// 计算当前 mid 线以下的面积
for (const auto& v : squares) {
double y = static_cast<double>(v[1]); // 左下角 y 坐标
double l = static_cast<double>(v[2]); // 正方形边长
if (y < mid) { // 仅计算 y < mid 的部分
double height = min(mid - y, l); // 计算在 mid 下方的高度
areaBelow += height * l; // 计算面积并累加
}
// 剪枝优化: 如果面积已经大于等于 halfArea, 则提前退出
if (areaBelow >= totalArea / 2) {
break;
}
}
// 二分查找
if (areaBelow >= totalArea / 2) {
up = mid; // mid 过大, 缩小上界
} else {
down = mid; // mid 过小, 扩大下界
}
}
return up; // 返回最终答案
}
};
class Solution {
public:
double separateSquares(vector<vector<int>>& squares) {
double totalArea = 0.0;
int maxY = 0;
// 计算总面积, 并确定最大 y 坐标
for (const auto& square : squares) {
int x = square[0], y = square[1], side = square[2];
totalArea += static_cast<double>(side) * side;
maxY = max(maxY, y + side);
}
// 判断是否满足条件
auto isValidY = [&](double yLine) -> bool {
double areaBelow = 0.0;
for (const auto& square : squares) {
int y = square[1], side = square[2];
if (y < yLine) {
double effectiveHeight = min(yLine - y, static_cast<double>(side));
areaBelow += effectiveHeight * side;
}
}
return areaBelow >= totalArea / 2;
};
// 二分查找满足条件的最小 y
double left = 0.0, right = static_cast<double>(maxY);
while (right - left > 1e-5) {
double mid = (left + right) / 2.0;
if (isValidY(mid)) {
right = mid;
} else {
left = mid;
}
}
return right;
}
};
4、复杂度分析
时间复杂度： O(n logM)
n是正方形的个数。M是y的搜索范围（最大y减去最小y）。- 二分查找大约进行
logM轮，每轮O(n)遍历正方形，最终 复杂度是 O(n logM)。
空间复杂度： O(1)
- 只使用了常数级变量，不需要额外的存储。
Q3、分割正方形 Ⅱ
1、题目描述
给你一个二维整数数组 squares ，其中 squares[i] = [xi, yi, li] 表示一个与 x 轴平行的正方形的左下角坐标和正方形的边长。
找到一个最小的 y 坐标，它对应一条水平线，该线需要满足它以上正方形的总面积 等于 该线以下正方形的总面积。
答案如果与实际答案的误差在 10-5 以内，将视为正确答案。
注意：正方形 可能会 重叠。重叠区域只 统计一次 。
2、解题思路
-
问题分析：
-
我们需要找到一个最小的
y值（即水平线的 y 坐标），使得该线以上的总面积和以下的总面积相等。 -
由于正方形的重叠会导致面积的重复计算，因此我们需要跟踪每个 x 区间内的覆盖长度，计算这些区间的总面积。
-
-
区间求解：
-
我们可以利用线段树来处理区间的覆盖情况。线段树可以在区间更新时有效计算每个区间的覆盖长度。
-
坐标压缩：由于正方形的 x 坐标值范围可能非常大，直接使用这些值作为线段树的索引不切实际。因此我们将 x 坐标压缩到一个较小的范围。
-
-
步骤：
-
首先，对于每个正方形，提取其上边界和下边界，记录它们在 x 轴上的位置。
-
接着，我们对所有的事件进行排序。每个事件代表一个正方形的开始（下边界）或结束（上边界）。
-
使用线段树来更新每个正方形的覆盖状态，并计算每一条水平线（y 坐标）下面的总面积。然后通过累积的面积差来找到使总面积平衡的水平线。
-
3、代码实现
// 定义线段树节点的结构
struct Node {
int minCover; // 当前节点的最小覆盖数, 表示该区间内有多少个正方形覆盖
int coveredLen; // 满足 minCover == 0 的线段长度, 表示该区间的实际被覆盖长度
int lazy; // 懒标记, 用于延迟更新
// 应用懒标记: 通过增加覆盖数来表示区间内正方形的覆盖情况
void apply(int value) {
minCover += value;
lazy += value; // 增加懒标记, 表示区间内的所有覆盖操作
}
};
class SegmentTree {
private:
vector<Node> tree; // 存储线段树的节点
vector<int> compressedX; // 坐标压缩后的 x 值
int size; // 线段树的大小
// 合并两个子节点的结果, 返回合并后的节点
Node merge(const Node& left, const Node& right) {
// 合并后最小覆盖数为左右子节点中的最小覆盖数
int minCover = min(left.minCover, right.minCover);
// 如果左右子节点的最小覆盖数为 0, 则累加它们的覆盖长度
int coveredLen = (left.minCover == minCover ? left.coveredLen : 0) + (right.minCover == minCover ? right.coveredLen : 0);
// 返回合并后的节点
return {minCover, coveredLen, 0};
}
// 构建线段树的递归方法
void build(int node, int left, int right) {
if (left == right) {
// 如果当前区间是一个点, 则初始化该节点
tree[node] = {0, compressedX[right] - compressedX[right - 1], 0};
} else {
// 否则递归构建左右子树
int mid = (left + right) / 2;
build(node * 2, left, mid);
build(node * 2 + 1, mid + 1, right);
// 合并左右子树
tree[node] = merge(tree[node * 2], tree[node * 2 + 1]);
}
}
// 懒标记下推操作, 更新子节点的懒标记
void pushDown(int node) {
if (tree[node].lazy == 0) {
return; // 如果当前节点没有懒标记, 则不需要下推
}
// 将懒标记下推到左右子节点
tree[node * 2].apply(tree[node].lazy);
tree[node * 2 + 1].apply(tree[node].lazy);
tree[node].lazy = 0; // 清空当前节点的懒标记
}
// 区间更新操作: 更新区间 [ql, qr] 的覆盖数
void modify(int node, int left, int right, int ql, int qr, int value) {
// 如果当前区间完全在查询区间内, 则直接更新当前节点
if (ql <= left && right <= qr) {
tree[node].apply(value);
return;
}
// 如果当前区间与查询区间有交集, 则需要下推懒标记并递归更新左右子树
pushDown(node);
int mid = (left + right) / 2;
if (ql <= mid) {
modify(node * 2, left, mid, ql, qr, value);
}
if (qr > mid) {
modify(node * 2 + 1, mid + 1, right, ql, qr, value);
}
// 合并左右子树的结果
tree[node] = merge(tree[node * 2], tree[node * 2 + 1]);
}
public:
// 构造函数, 接受压缩后的 x 坐标数组
SegmentTree(const vector<int>& uniqueX) {
size = uniqueX.size();
compressedX = uniqueX;
tree.resize(size * 4); // 为线段树分配空间
build(1, 1, size - 1); // 初始化线段树
}
// 更新区间 [leftIndex, rightIndex] 的覆盖数
void update(int leftIndex, int rightIndex, int value) {
modify(1, 1, size - 1, leftIndex, rightIndex, value);
}
// 获取线段树中当前覆盖数为 0 的区间的总长度
int getCoveredLength() {
// 如果最小覆盖数为 0, 说明该区间没有被任何正方形覆盖
return tree[1].minCover == 0 ? (compressedX.back() - compressedX.front()) - tree[1].coveredLen // 返回该区间未被覆盖的部分长度
: compressedX.back() - compressedX.front(); // 否则返回整个区间长度
}
};
// 主要的解题函数
class Solution {
public:
double separateSquares(vector<vector<int>>& squares) {
// 使用 map 进行坐标压缩: 记录所有正方形的左下角和右上角的 x 坐标
map<int, int> coordMap;
for (const auto& sq : squares) {
coordMap[sq[0]] = 1; // 将正方形的左边 x 坐标添加到坐标映射中
coordMap[sq[0] + sq[2]] = 1; // 将正方形的右边 x 坐标添加到坐标映射中
}
// 为每个唯一的 x 坐标分配一个压缩后的索引
int index = 0;
for (auto& kv : coordMap) {
kv.second = index++;
}
// 将压缩后的 x 坐标存入数组
vector<int> compressedX(index);
for (auto& p : coordMap) {
compressedX[p.second] = p.first;
}
// 生成事件列表: 记录正方形的上边界和下边界
vector<array<int, 4>> events;
for (const auto& sq : squares) {
// 正方形的下边界事件
events.push_back({sq[1], coordMap[sq[0]] + 1, coordMap[sq[0] + sq[2]], 1});
// 正方形的上边界事件
events.push_back({sq[1] + sq[2], coordMap[sq[0]] + 1, coordMap[sq[0] + sq[2]], -1});
}
// 按 y 坐标 (即正方形的上下边界) 排序事件
sort(events.begin(), events.end());
// 使用线段树计算总面积
SegmentTree segTree(compressedX);
long long totalArea = 0;
for (size_t i = 0; i + 1 < events.size(); i++) {
// 更新线段树的覆盖状态
segTree.update(events[i][1], events[i][2], events[i][3]);
// 获取当前覆盖长度
int coveredLength = segTree.getCoveredLength();
// 累加总面积
totalArea += 1LL * coveredLength * (events[i + 1][0] - events[i][0]);
}
// 计算中位水平线的面积
long long accumulatedArea = 0;
segTree = SegmentTree(compressedX); // 重新初始化线段树
for (size_t i = 0; i + 1 < events.size(); i++) {
// 更新线段树
segTree.update(events[i][1], events[i][2], events[i][3]);
// 获取当前覆盖长度
int coveredLength = segTree.getCoveredLength();
// 累加面积
accumulatedArea += 1LL * coveredLength * (events[i + 1][0] - events[i][0]);
// 计算此时累计的面积和剩余面积的差值
long long areaDiff = accumulatedArea - (totalArea - accumulatedArea);
// 如果累计面积大于或等于剩余面积, 则找到平衡线
if (areaDiff >= 0) {
return events[i + 1][0] - 0.5 * areaDiff / coveredLength;
}
};
return -1; // 如果找不到合适的平衡线, 返回 -1
}
};
4、复杂度分析
时间复杂度：
- 坐标压缩和事件排序：
O(n log n)，其中n是正方形的个数。 - 线段树的构建和查询：
O(n log n)。 - 总体时间复杂度
Q4、最短匹配字符串
1、题目描述
给你一个字符串 s 和一个模式字符串 p，其中 p 恰好 包含 两个 '*' 字符。
p 中的 '*' 匹配零个或多个字符的任何序列。
返回 s 中与 p 匹配的 最短 子字符串的长度。如果没有这样的子字符串，返回 -1。
子字符串 是字符串中的一个连续字符序列（空子字符串也被认为是合法字符串）。
2、解题思路
此问题的核心是利用字符串匹配的技巧来拆解模式字符串并在 s 中寻找匹配。由于 '*' 可以匹配任意字符序列，因此我们将模式字符串拆解为三个部分：
*前的前缀部分；- 两个
*之间的部分； *后的后缀部分。
我们可以分别在 s 中查找这些部分的匹配，然后合并它们来获得最短匹配的子字符串。
具体步骤如下：
- 拆解模式字符串：将模式字符串
p拆分为三个部分：- 前缀部分：位于第一个
*前； - 中间部分：位于两个
*之间； - 后缀部分：位于第二个
*后。
- 前缀部分：位于第一个
- 字符串匹配：分别在
s中查找这三部分的匹配位置。- 对于前缀和后缀部分，我们可以使用字符串匹配算法来查找其在
s中的所有匹配位置。 - 对于中间部分，我们可以从
s中查找所有匹配位置，并确保它与前缀和后缀部分的匹配不重叠。
- 对于前缀和后缀部分，我们可以使用字符串匹配算法来查找其在
- 计算最短子字符串：通过遍历所有匹配的中间部分，尝试找到最短的匹配子字符串。
3、代码实现
class Solution {
private:
// 计算模式串 pattern 的前缀函数 (pi 数组)
vector<int> computePrefixFunction(const string& pattern) {
int n = pattern.size();
vector<int> pi(n, 0); // pi 数组记录每个位置的最长相等前后缀长度
int match = 0;
// 遍历模式串的字符, 通过前缀函数更新匹配位置
for (int i = 1; i < n; ++i) {
while (match > 0 && pattern[match] != pattern[i]) {
match = pi[match - 1]; // 跳过不匹配部分
}
if (pattern[match] == pattern[i]) {
match++;
}
pi[i] = match; // 更新前缀函数
}
return pi;
}
// 在文本串 text 中查找模式串 pattern 的所有匹配位置
vector<int> findPatternMatches(const string& text, const string& pattern) {
int n = text.size();
int m = pattern.size();
if (m == 0) {
// 如果模式串为空, pattern 的所有位置都能匹配空串
vector<int> pos(n + 1);
iota(pos.begin(), pos.end(), 0); // 生成从 0 到 n 的位置
return pos;
}
vector<int> pi = computePrefixFunction(pattern); // 取前缀函数
vector<int> matches; // 用于存储匹配的位置
int match = 0;
for (int i = 0; i < n; ++i) {
while (match > 0 && pattern[match] != text[i]) {
match = pi[match - 1]; // 找到最长的匹配前缀
}
if (pattern[match] == text[i]) {
match++;
}
if (match == m) {
matches.push_back(i - m + 1); // 匹配成功, 记录匹配的起始位置
match = pi[match - 1]; // 使用前缀函数回溯, 继续查找下一个匹配
}
}
return matches;
}
public:
// 计算最短的匹配子字符串
int shortestMatchingSubstring(const string& s, const string& p) {
// 找到两个 '*' 的位置
int firstStar = p.find('*');
int lastStar = p.rfind('*');
// 获取前三段字符串 (即 '*' 之前、之间和之后的部分)
string prefix = p.substr(0, firstStar); // 第一个 '*' 前的部分
string middle = p.substr(firstStar + 1, lastStar - firstStar - 1); // 两个 '*' 之间的部分
string suffix = p.substr(lastStar + 1); // 第二个 '*' 后的部分
// 分别查找每部分在 s 中的匹配位置
vector<int> prefixMatches = findPatternMatches(s, prefix);
vector<int> middleMatches = findPatternMatches(s, middle);
vector<int> suffixMatches = findPatternMatches(s, suffix);
// 计算每段的长度
int lenPrefix = prefix.size();
int lenMiddle = middle.size();
int lenSuffix = suffix.size();
// 用于记录最短匹配子字符串的长度
int minLength = INT_MAX;
int prefixIdx = 0, suffixIdx = 0;
// 遍历所有的 middle 匹配, 寻找左右两边最近的匹配, 确保没有重叠
for (int middlePos : middleMatches) {
// 处理右边, 找到离 middlePos 最近且不重叠的 suffix 匹配
while (suffixIdx < suffixMatches.size() && suffixMatches[suffixIdx] < middlePos + lenMiddle) {
suffixIdx++;
}
if (suffixIdx == suffixMatches.size()) {
break;
}
// 处理左边, 找到离 middlePos 最近且不重叠的 prefix 匹配
while (prefixIdx < prefixMatches.size() && prefixMatches[prefixIdx] <= middlePos - lenPrefix) {
prefixIdx++;
}
if (prefixIdx > 0) {
// 计算最短子字符串的长度
int currentLength = suffixMatches[suffixIdx] + lenSuffix - prefixMatches[prefixIdx - 1];
minLength = min(minLength, currentLength); // 更新最短长度
}
}
return minLength == INT_MAX ? -1 : minLength; // 如果找不到匹配, 返回 -1
}
};
4、复杂度分析
- 计算前缀函数的时间复杂度为 O(m)，其中 m 为模式串的长度。
- 在文本
s中查找每个部分的匹配位置的时间复杂度为 O(n)，其中 n 为文本串的长度。 - 最终合并各部分匹配位置并找到最短匹配的时间复杂度为 O(n)。
因此，整体时间复杂度为 O(n + m)，其中 n 为文本串长度，m 为模式串长度。