9.【线性代数】—— 线性相关性， 向量空间的基，维数
九 线性相关性， 向量空间的基，维数
- Ax=0 什么情况下无解(x不为零向量)
- 1. 向量组的线性无关性
- 2.向量组生成一个空间(S)
- 3. 向量空间的一组基：都满足向量个数相同
- 4. 空间维数 = 基向量的个数
Ax=0 什么情况下无解(x不为零向量)
Ax=0无解，当且仅当，A矩阵通过消元后，转化为单位矩阵，没有自由变量。
A 的矩阵大小为 m ∗ n ，当 m < n , 可以转换为 R 矩阵， A x = 0 有解，因为存在自由变量。秩最多为 m ，自由变量为 n − m A的矩阵大小为 m*n，当 m<n,可以转换为R矩阵，Ax=0有解，因为存在自由变量。秩最多为m，自由变量为 n-m A的矩阵大小为m∗n，当m<n,可以转换为R矩阵，Ax=0有解，因为存在自由变量。秩最多为m，自由变量为n−m
1. 向量组的线性无关性
记: 有一组向量， x 1 , x 2 , x 3 . . . x n ，当不存在 c 1 x 1 + c 2 x 2 + . . . + c n x n ≠ 0 时，则称 x 1 , x 2 , x 3 . . . x n 是线性无关的。 有一组向量，x_1,x_2,x_3...x_n，当不存在 c_1x1+c_2x_2+...+c_nx_n\neq0时，则称x_1,x_2,x_3...x_n是线性无关的。 有一组向量，x1,x2,x3...xn，当不存在c1x1+c2x2+...+cnxn=0时，则称x1,x2,x3...xn是线性无关的。
如果 v 1 , v 2 . . . v n 是矩阵 A 的列向量，如果向量组线性无关，那么 A x = 0 无解， A 的秩为 n 。 如果v_1,v_2...v_n是矩阵A的列向量，如果向量组线性无关，那么Ax=0无解，A的秩为n。 如果v1,v2...vn是矩阵A的列向量，如果向量组线性无关，那么Ax=0无解，A的秩为n。
2.向量组生成一个空间(S)
等价于 空间包含向量组的线性组合 空间包含向量组的线性组合 空间包含向量组的线性组合
3. 向量空间的一组基：都满足向量个数相同
那么 向量组有两个性质， 1. 线性无关 2. 生成一整个空间 向量组有两个性质，1. 线性无关 2. 生成一整个空间 向量组有两个性质，1.线性无关2.生成一整个空间
R
3
R^3
R3的一组基
[
1
0
0
]
,
[
0
1
0
]
,
[
0
0
1
]
\begin{bmatrix} 1\\0\\0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0\\1\\0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0\\0\\1 \end{bmatrix}
100
,
010
,
001
当 A n ∗ n A_{n*n} An∗n可逆 ⇒ \xRightarrow{} 满秩 ⇒ \xRightarrow{} n个向量是 R n R^n Rn的基
4. 空间维数 = 基向量的个数
例子
A
=
[
1
2
3
1
1
1
2
1
1
2
3
1
]
A = \begin{bmatrix} 1&2&3&1\\ 1&1&2&1\\ 1&2&3&1\\ \end{bmatrix}
A=
111212323111
A的基为
[
1
2
1
1
1
2
]
\begin{bmatrix} 1&2\\ 1&1\\ 1&2\\ \end{bmatrix}
111212
N
(
A
)
=
c
[
−
1
−
1
1
0
]
+
d
[
−
1
0
0
1
]
N(A) = c\begin{bmatrix} -1\\-1\\1\\0 \end{bmatrix} + d\begin{bmatrix} -1\\ 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}
N(A)=c
−1−110
+d
−1001
,求法详见7.【线性代数】——求解Ax=0，主列和自由列
r a n k ( A ) = 主列数 = 空间的维数 C ( A ) = r rank(A) = 主列数 = 空间的维数 C(A) = r rank(A)=主列数=空间的维数C(A)=r
d i m ( N ( A ) ) = 自由列的列数 = n − r dim(N(A)) = 自由列的列数 = n - r dim(N(A))=自由列的列数=n−r