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【线性代数】3向量

article 2025/3/4 1:51:08

1.线性相关性

1.1.三个概念

向量的线性表示：一个向量用其他向量乘常数再相加表示出来。

举一个例子，我们用 $\alpha _1,\alpha _2$ 分别乘上常数 $k_1$ 和 $k_2$ ，让他们相加等于 $\alpha _3$ ， $k_1\alpha_1+k_2\alpha_2=\alpha_3$ ， $k_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+k_2 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix}$ ，这个就叫 $\alpha _3$ 可以由 $\alpha _1,\alpha _2$ 线性表示。

考试中只写 $k_1$ 和 $k_2$ 是不行的，我们要把他们求出来。方法就是把具体的向量写出来，再用 $k_1,k_2$ 和向量中的元素分别组成三个方程，最后解出这个方程组就可以了 $\begin{cases} k_1\times1+k_2\times0=4 \\ k_1\times0+k_2\times1=5 \\ k_1\times0+k_2\times0=0 & \end{cases} \\$ ， $\begin{cases} k_1=4 \\ k_2=5 & \end{cases}$ ，得到 $4\alpha_1+5\alpha_2=\alpha_3$ 。

向量的线性相关：向量组写成 $k_1a_1+k_2a_2+k_3a_3+k_4a_4=0$ 的形式。

只要有 $k_1,k_2,k_3,k_4$ 不全为 $0$ 且能满足这个方程组的情况，它们就线性相关；

若只有 $k_1,k_2,k_3,k_4$ 全为 $0$ 才能满足这个方程组则线性无关。

向量的线性组合：其中 $k_1a_1+k_2a_2+k_3a_3+k_4a_4$ 叫做向量的线性组合。

🦊设 $a_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ ， $a_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ ， $a_3 = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix}$ ，