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【图论】判断图中有环的两种方法及实现

article 2025/3/6 11:42:47

判断图中有环的两种方法及实现

在图论中，检测有向图是否存在环是常见问题。本文将介绍两种主流方法：DFS三色标记法和拓扑排序（Kahn算法），并提供对应的C++代码实现。

方法一：DFS三色标记法

核心思想

通过深度优先搜索（DFS）遍历图，使用三种颜色标记节点状态：

0（未访问）：节点尚未被访问。
1（访问中）：节点正在被访问，其后续节点仍在递归中。
2（已访问）：节点及其所有后代均已处理完毕。

如果在遍历过程中遇到状态为1的节点，说明存在环。

时间复杂度

O(V + E)，其中V为节点数，E为边数。

C++代码实现

#include <vector>
using namespace std;

bool hasCycleDFS(vector<vector<int>>& graph, int node, vector<int>& color) {
    color[node] = 1; // 标记为“访问中”
    for (int neighbor : graph[node]) {
        if (color[neighbor] == 0) { // 未访问的节点
            if (hasCycleDFS(graph, neighbor, color)) return true;
        } else if (color[neighbor] == 1) { // 遇到访问中的节点，存在环
            return true;
        }
    }
    color[node] = 2; // 标记为“已访问”
    return false;
}

bool hasCycle(vector<vector<int>>& graph) {
    int n = graph.size();
    vector<int> color(n, 0); // 初始化所有节点为未访问
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        if (color[i] == 0 && hasCycleDFS(graph, i, color)) {
            return true;
        }
    }
    return false;
}

方法二：拓扑排序（Kahn算法）

核心思想

统计每个节点的入度（指向该节点的边数）。
将所有入度为0的节点加入队列。
依次处理队列中的节点，减少其邻居的入度。若邻居入度变为0，则加入队列。
若最终处理的节点数不等于总节点数，则存在环。

时间复杂度

O(V + E)，其中V为节点数，E为边数。

C++代码实现

#include <vector>
#include <queue>
using namespace std;

bool hasCycleTopo(vector<vector<int>>& graph) {
    int n = graph.size();
    vector<int> indegree(n, 0);
    queue<int> q;

    // 计算初始入度
    for (int u = 0; u < n; ++u) {
        for (int v : graph[u]) {
            indegree[v]++;
        }
    }

    // 入度为0的节点入队
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        if (indegree[i] == 0) q.push(i);
    }

    int cnt = 0; // 记录处理的节点数
    while (!q.empty()) {
        int u = q.front();
        q.pop();
        cnt++;
        for (int v : graph[u]) {
            if (--indegree[v] == 0) {
                q.push(v);
            }
        }
    }

    return cnt != n; // 存在环时cnt < n
}

方法对比与适用场景

方法	优势	劣势	适用场景
DFS三色标记法	可同时处理其他任务（如路径记录）	递归深度可能较大	需要深度遍历信息的场景
拓扑排序	无需递归，适合大规模图	仅提供是否存在环的结果	只需判断环或需要拓扑序列的场景

完整测试代码

#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
using namespace std;

// DFS三色标记法
bool hasCycleDFS(vector<vector<int>>& graph, int node, vector<int>& color) {
    color[node] = 1;
    for (int v : graph[node]) {
        if (color[v] == 0) {
            if (hasCycleDFS(graph, v, color)) return true;
        } else if (color[v] == 1) {
            return true;
        }
    }
    color[node] = 2;
    return false;
}

bool hasCycleDFS(vector<vector<int>>& graph) {
    int n = graph.size();
    vector<int> color(n, 0);
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        if (color[i] == 0 && hasCycleDFS(graph, i, color)) {
            return true;
        }
    }
    return false;
}

// 拓扑排序
bool hasCycleTopo(vector<vector<int>>& graph) {
    int n = graph.size();
    vector<int> indegree(n, 0);
    queue<int> q;

    for (auto& edges : graph) {
        for (int v : edges) indegree[v]++;
    }
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        if (indegree[i] == 0) q.push(i);
    }

    int cnt = 0;
    while (!q.empty()) {
        int u = q.front();
        q.pop();
        cnt++;
        for (int v : graph[u]) {
            if (--indegree[v] == 0) q.push(v);
        }
    }

    return cnt != n;
}

int main() {
    // 示例：有环图 0->1->2->0
    vector<vector<int>> graph = {{1}, {2}, {0}};

    cout << "DFS三色标记法结果: " << (hasCycleDFS(graph) ? "有环" : "无环") << endl;
    cout << "拓扑排序结果: " << (hasCycleTopo(graph) ? "有环" : "无环") << endl;

    return 0;
}