通往 AI 之路：Python 机器学习入门-线性代数
2.1 线性代数（机器学习的核心）
线性代数是机器学习的基础之一，许多核心算法都依赖矩阵运算。本章将介绍线性代数中的基本概念，包括标量、向量、矩阵、矩阵运算、特征值与特征向量，以及奇异值分解（SVD）。
2.1.1 标量、向量、矩阵
1. 标量（Scalar）
标量是一个单独的数，例如：
a = 5
在 Python 中：
a = 5 # 标量
2. 向量（Vector）
向量是由多个数值组成的一维数组，例如：
v = [2, 3, 5]
Python 实现：
import numpy as np
v = np.array([2, 3, 5]) # 一维数组表示向量
print(v)
3. 矩阵（Matrix）
矩阵是一个二维数组，例如：
A = [[1, 2],
[3, 4]]
Python 实现：
A = np.array([[1, 2], [3, 4]]) # 二维数组表示矩阵
print(A)
2.1.2 矩阵运算
1. 矩阵加法
两个相同形状的矩阵可以相加：
A + B = [[1, 2], + [[5, 6], = [[6, 8],
[3, 4]] [7, 8]] [10, 12]]
Python 计算：
A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
B = np.array([[5, 6], [7, 8]])
C = A + B
print(C)
2. 矩阵乘法
- 逐元素相乘（Hadamard 乘积）
A ⊙ B = [[1×5, 2×6],
[3×7, 4×8]]
= [[5, 12],
[21, 32]]
Python 实现：
C = A * B # 逐元素相乘
print(C)
- 矩阵乘法（点积）
A × B = [[1×5 + 2×7, 1×6 + 2×8],
[3×5 + 4×7, 3×6 + 4×8]]
= [[19, 22],
[43, 50]]
Python 实现：
C = np.dot(A, B) # 矩阵乘法
print(C)
3. 矩阵转置
矩阵转置是将行变成列：
A^T = [[1, 3],
[2, 4]]
Python 计算：
A_T = A.T # 计算转置
print(A_T)
4. 逆矩阵
如果矩阵 A 是可逆的（即 det(A) ≠ 0），那么存在一个矩阵 A^(-1) 使得：
A × A^(-1) = I (单位矩阵)
Python 计算：
A_inv = np.linalg.inv(A) # 计算逆矩阵
print(A_inv)
2.1.3 特征值与特征向量
特征值（Eigenvalue）和特征向量（Eigenvector）在机器学习中用于主成分分析（PCA）等算法。
1. 定义
对于矩阵 A，如果存在一个向量 v 和一个数 λ 使得：
A × v = λ × v
那么 v 是 A 的特征向量，λ 是对应的特征值。
2. Python 计算特征值和特征向量
eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(A)
print("特征值:", eigenvalues)
print("特征向量:", eigenvectors)
2.1.4 SVD（奇异值分解）
奇异值分解（Singular Value Decomposition, SVD）是矩阵分解的一种重要方法，它可以表示为：
A = U × Σ × V^T
其中：
U是左奇异向量矩阵Σ是对角矩阵，对角线上的元素称为奇异值V^T是右奇异向量矩阵的转置
Python 计算 SVD
U, S, V_T = np.linalg.svd(A)
print("U 矩阵:", U)
print("Σ 矩阵:", S)
print("V^T 矩阵:", V_T)
SVD 在降维（如 PCA）中有重要应用，后续章节将深入介绍。
总结
本章介绍了机器学习中常用的线性代数知识，包括：
- 标量、向量、矩阵 及其表示方式
- 矩阵运算（加法、乘法、转置、逆矩阵）
- 特征值与特征向量（PCA 等算法的基础）
- SVD（奇异值分解）（在数据降维中的应用）
掌握这些内容，有助于理解机器学习的数学基础！建议多实践代码，加深理解！