确定信号分析：从傅里叶级数到信号带宽的Matlab实践

关键词：傅里叶变换 信号能量 功率谱密度 自相关函数 信号带宽 Matlab仿真

内容摘要：
本文系统讲解确定信号分析的核心理论与Matlab实践，涵盖周期信号的傅里叶级数展开、非周期信号的傅里叶变换及性质、信号能量与功率的计算、自相关函数与频谱密度的关系、信号带宽的定义与测量方法。提供方波信号傅里叶级数展开、离散傅里叶变换（DFT）频谱计算、能量与功率信号仿真等案例进行展示。

引言

确定信号是通信系统中信息传递的载体，其特性分析是理解信道传输与设备设计的基础。本文通过傅里叶变换、能量/功率分析、带宽计算等核心理论，结合Matlab代码实现，系统讲解信号分析的数学工具与工程应用。

一、周期信号的傅里叶级数展开

傅里叶级数的数学定义

周期信号 $f(t)=f(t+kT)$ 可展开为谐波分量的叠加：
$$f(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{F}_n{e}^{j2\pi n{f}_{s}t}$$
其中傅里叶系数 $F_n$ 的计算公式为：
$$F_n=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{T}{\int }_0^{T}f(t)e^{-j2\pi n{f}_{s}t}dt& n\ne 0\\ \frac{1}{T}{\int }_0^{T}f(t)dt& n=0\end{array}$$

方波信号的展开实例

考虑周期方波信号：
$$f(t)=\{\begin{array}{ll}1& 0\le t<\frac{T}{2}\\ -1& \frac{T}{2}\le t<T\end{array}$$
其傅里叶系数为：
$$F_n=\text{sinc}\left(\frac{n}{2}\right)e^{-j\pi n/2}$$

Matlab实现与波形生成

通过截断傅里叶级数（取前 $2N+1$ 项）逼近方波信号：

N = 100;       % 谐波项数：2N+1
T = 1;         % 信号周期
fs = 1/T;      % 基频
N_sample = 128;% 每周期采样点数
dt = T/N_sample;
t = 0:dt:10*T - dt;
n = -N:N;
Fn = sinc(n/2) .* exp(-1j * n * pi / 2);
ft = zeros(1, length(t));

for m = -N:N
    ft = ft + Fn(m + N + 1) * exp(1j * 2 * pi * m * fs * t);
end

plot(t, real(ft)); 
xlabel('时间 (t)'); ylabel('幅度'); title('周期方波的傅里叶级数近似波形');

结果分析：随着项数 $N$ 增大，叠加波形逐渐逼近理想方波。

二、傅里叶变换与非周期信号分析

傅里叶变换公式

非周期信号的傅里叶变换对为：
$$S(f)={\int }_{-\infty }^{\infty }s(t)e^{-j2\pi ft}dt\iff s(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }S(f)e^{j2\pi ft}df$$

方波信号的频谱计算

对于单周期方波信号：
$$s(t)=\{\begin{array}{ll}1& 0\le t<\frac{T}{2}\\ -1& \frac{T}{2}\le t<T\end{array}$$
其傅里叶变换结果为：
$$S(f)=j\frac{\pi f{T}^2}{2}{e}^{-j\pi fT}{\text{sinc}}^2\left(\frac{fT}{2}\right)$$

三、信号能量与功率的Matlab仿真

能量信号与功率信号

• 能量信号：满足 $E_s={\int }_{-\infty }^{\infty }|s(t){|}^{2}dt<\infty$，如 $s_1(t)=e^{-3t}U(t)\cos (20\pi t)$。
• 功率信号：满足 $P_s={\lim }_{T\to \infty }\frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}|s(t){|}^{2}dt$，如 $s_2(t)=U(t)\cos (20\pi t)$。

仿真代码示例

dt = 0.01;
t = 0:dt:5;
s1 = exp(-5*t) .* cos(20*pi*t); % 能量信号
s2 = cos(20*pi*t);             % 功率信号

% 时域能量计算
E1 = sum(s1.^2) * dt;

% 频域能量计算
[f1, s1f] = T2F(t, s1);
df = f1(2) - f1(1);
E1_f = sum(abs(s1f).^2) * df;

disp(['时域能量：', num2str(E1), '，频域能量：', num2str(E1_f)]);

输出结果：时域与频域能量计算结果一致（如 0.0554 与 0.0553），验证帕塞瓦尔定理。

四、信号带宽的定义与计算

3dB带宽与等效带宽

• 3dB带宽：功率谱下降至峰值一半的频率范围。
• 等效带宽：矩形谱带宽，满足总功率相等：
  $$B_{eq}=\frac{{\int }_{-\infty }^{\infty }{P}_s(f)df}{2|P_s(f){|}_{\text{max}}}$$

Matlab实现

T = 1;
N_sample = 128;
dt = T/N_sample;
t = 0:dt:T - dt;
st = [ones(1, N_sample/2), -ones(1, N_sample/2)]; % 方波信号

% 傅里叶变换与带宽计算
[f, sf] = T2F(t, st);
sf_max = max(abs(sf));
Bw_eq = sum(abs(sf).^2) * (f(2)-f(1)) / sf_max^2;
disp(['等效带宽：', num2str(Bw_eq), ' Hz']);

示例：方波信号的频谱与带宽计算：

问题描述

设信号波形为：
$$s(t)=\{\begin{array}{ll}1& 0\le t<\frac{T}{2}\\ -1& \frac{T}{2}\le t<T\end{array}$$
其中 $T=1$。要求通过Matlab完成以下任务：

1. 计算信号的频谱 $S(f)$；
2. 绘制频谱图并标注3dB带宽；
3. 计算信号的等效带宽。

%方波的傅里叶变换,sig_band.m
clear all;
close all;
T=1;
N_sample =128;
dt=1/N_sample;
t=0:dt:T-dt;
st=[ones(1,N_sample/2),-ones(1,N_sample/2)];
df=0.1/T;
Fx=1/dt;
f=-Fx:df:Fx-df;
%根据傅里叶变换计算得到的信号频谱
sff=T^2*j*pi*f*0.5.*exp(-j*2*pi*f*T).*sinc(f*T*0.5).*sinc(f*T*0.5);
plot(f,abs(sff),'r-')
axis([-10 10 0 1.7]);
hold on;
sf_max= max(abs(sff));
line([f(1) f(end)],[sf_max sf_max]); line([f(1) f(end)],[sf_max/sqrt(2) sf_max/sqrt(2)]); %交点处为信号功率下降3dB处
Bw_eq=sum(abs(sff).^2)*df/T/sf_max^2; %信号的等效带宽

五、DFT频谱计算的误差分析

时间窗效应与混叠现象

• 时间窗效应：截断信号导致频谱泄露。
• 混叠误差：采样率不足时高频分量折叠到低频。

频谱对比代码

% 方波频谱对比
T = 1;
N_sample = 128;
dt = T/N_sample;
t = 0:dt:T - dt;
st = [ones(1, N_sample/2), -ones(1, N_sample/2)];

% DFT计算与理论频谱
[f, sf] = T2F(t, st);
sff = T * 2j * pi * f * 0.5 .* exp(-1j*2*pi*f*T) .* sinc(f*T*0.5).^2;

% 绘图对比
plot(f, abs(sf), 'b', f, abs(sff), 'r--');
legend('DFT计算', '理论值');
xlabel('频率 (Hz)'); ylabel('幅度');

结果分析：DFT结果与理论频谱在高频部分存在差异，需增大采样率与时间窗长度以减少误差。

总结

确定信号分析通过傅里叶变换揭示信号的频域特性，结合能量、功率与带宽的定义，为通信系统设计提供理论支持。Matlab仿真直观展示了理论模型的实现细节与误差来源，实际应用中需合理选择参数以平衡计算精度与效率。