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人工智能直通车系列06【Python 基础与数学基础】（属性与方法概率论：概率基本概念）

article 2025/3/8 23:08:02

概率的基本概念

概率的基本性质

概率的计算方法

场景示例

样本空间：一个随机试验所有可能结果组成的集合，通常用 $\Omega$ 表示。例如，抛一枚骰子，所有可能出现的点数 $1,2,3,4,5,6$ 构成的集合就是这个随机试验的样本空间，即 $\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}$ 。
随机事件：样本空间 $\Omega$ 的子集称为随机事件，简称事件，常用大写字母 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 等表示。比如在抛骰子试验中，“出现偶数点” 就是一个随机事件，可表示为 $A=\{2,4,6\}$ 。
概率：是对随机事件发生可能性大小的度量。对于一个随机事件 $A$ ，其概率 $P(A)$ 满足 $0\leq P(A)\leq1$ 。 $P(A)=0$ 表示事件 $A$ 不可能发生， $P(A)=1$ 表示事件 $A$ 必然发生。若抛一枚均匀的硬币，正面朝上的概率正面，这意味着在大量重复抛硬币试验中，正面朝上的次数大约占总次数的一半。

非负性：对于任意事件 $A$ ，有 $P(A)\geq0$ 。这是概率的基本要求，因为概率表示的是事件发生的可能性，不可能为负数。
规范性： $P(\Omega )=1$ ，即样本空间 $\Omega$ 作为必然事件，其发生的概率为 $1$ 。
可加性：若事件 $A$ 与 $B$ 互斥，即 $(A\cap B = \varnothing)$ ，则P $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ 。例如，在抛骰子试验中，“出现 $1$ 点” 和 “出现 $2$ 点” 是互斥事件，那么 “出现 $1$ 点或 $2$ 点” 的概率 $P(\{1\}\cup\{2\})=P(\{1\})+P(\{2\})=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{3}$ 。

古典概型：若随机试验满足样本空间 $\Omega$ 中样本点总数 $n$ 有限，且每个样本点发生的可能性相等，对于事件 $A$ ， $A$ 包含的样本点个数为 $m$ ，则 $P(A)=\frac{m}{n}$ 。例如从 $10$ 个球（其中 $3$ 个红球， $7$ 个白球）中随机摸一个球，摸到红球的概率 $P=\frac{3}{10}$ 。
几何概型：用于解决样本空间是无限的且具有几何度量（如长度、面积、体积等）的问题。若随机试验的样本空间 $\Omega$ 是一个可度量的几何区域，事件 $A$ 是 $\Omega$ 的某个子区域，且在 $\Omega$ 内任取一点的可能性相等，则的几何度量的几何度量。比如在一个边长为 $1$ 的正方形内随机取一点，该点到正方形中心的距离小于 $\frac{1}{2}$ 的概率，可通过计算以正方形中心为圆心、半径为 $\frac{1}{2}$ 的圆的面积与正方形面积之比得到，即 $P=\frac{\pi(\frac{1}{2})^2}{1^2}=\frac{\pi}{4}$ 。

天气预报：气象部门根据大量的气象数据和模型分析，预测明天降雨的概率为30%。这里的30%就是对 “明天降雨” 这一随机事件发生可能性的度量，人们可以根据这个概率来决定是否携带雨具等。
彩票中奖：以双色球为例，计算中一等奖的概率。从 $33$ 个红球中选 $6$ 个，从 $16$ 个蓝球中选 $1$ 个，全部组合数为 $C_{33}^6\times C_{16}^1$ ，而中一等奖只有 $1$ 种情况，所以中一等奖的概率极低，约为 $\frac{1}{C_{33}^6\times C_{16}^1}$ 。这体现了概率在评估风险和收益方面的作用，让人们了解到中彩票大奖是极其罕见的事件。
产品质量检测：工厂生产的一批产品中，通过抽样检测来估计产品的合格率。假设抽取 $100$ 件产品，有 $95$ 件合格，则可以估计这批产品的合格概率约为 $95\%$ ，这有助于企业了解产品质量状况，采取相应的改进措施等。