向量内积（点乘）和外积（叉乘）

1. 向量的内积（点积）

1.1 定义

对于n维向量$\mathbf{a}=(a_1,a_2,...,a_n)$和$\mathbf{b}=(b_1,b_2,...,b_n)$，其内积定义为：

$$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i$$

三维向量特例：
$$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos \theta$$
（$\theta$为两向量夹角）

1.2 几何意义

• 表征两个向量的投影关系
• 计算向量夹角的余弦值
• 判断向量正交性：当内积为0时两向量垂直

表征两个向量的投影关系

如上图，可以通过向量内积计算向量 $\mathbf{P}$在 $\mathbf{Q}$ 上的投影为：
$$pro{j}_Q\mathbf{P}=\frac{\mathbf{P}\cdot \mathbf{Q}}{\Vert \mathbf{Q}{\Vert }^2}\mathbf{Q}$$
向量 $\mathbf{P}$ 垂直于 $\mathbf{Q}$ 的分量为：
$$\begin{gathered} per{p}_Q\mathbf{P}=\mathbf{P}-pro{j}_Q\mathbf{P} \\ =\mathbf{P}-\frac{\mathbf{P}\cdot \mathbf{Q}}{\Vert \mathbf{Q}{\Vert }^2}\mathbf{Q} \end{gathered}$$
其中，向量 $\mathbf{P}$ 在 $\mathbf{Q}$ 上的投影可以看作 $\mathbf{P}$ 的线性变换，可以写成矩阵向量积：
$$pro{j}_Q\mathbf{P}=\frac{1}{\Vert Q{\Vert }^2}\left[\begin{array}{ccc}{Q}_x^2& Q_x{Q}_y& Q_x{Q}_z\\ Q_x{Q}_y& Q_y^2& Q_y{Q}_z\\ Q_x{Q}_z& Q_y{Q}_z& Q_z^2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{P}_x\\ P_y\\ P_z\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(2)}$$

计算向量夹角的余弦值

根据向量内积公式：
$$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos \theta$$
已知$\mathbf{a}和\mathbf{b}$可以计算其夹角。

另外还可以推导三角形的余弦定理。如下图所示，根据图中的关系可知：$\mathbf{c}=\mathbf{a}-\mathbf{b}$，因此
$${\mathbf{c}}^2={(\mathbf{a}-\mathbf{b})}^2={\mathbf{a}}^2+{\mathbf{b}}^2-2\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}={\mathbf{a}}^2+{\mathbf{b}}^2-2|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos \theta$$
上述即余弦定理的公式。

1.3 重要性质

1. 交换律
   $$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=\mathbf{b}\cdot \mathbf{a}$$

2. 分配律
   $$\mathbf{a}\cdot (\mathbf{b}+\mathbf{c})=\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}+\mathbf{a}\cdot \mathbf{c}$$

3. 数乘结合律
   $$(k\mathbf{a})\cdot \mathbf{b}=k(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})$$

4. 正定性
   $${\mathbf{a}}^2\ge 0$$
   当且仅当 ${\mathbf{a}}^2=0$ 时，有 $\mathbf{a}=0$。

5. 对称性
   $$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=\mathbf{b}\cdot \mathbf{a}$$

6. 线性性
   $$(\lambda \mathbf{a}+\mu \mathbf{b})\cdot \mathbf{c}=\lambda (\mathbf{a}\cdot \mathbf{c})+\mu (\mathbf{b}\cdot \mathbf{c})$$
   对任意实数 $\lambda ,\mu$ 均成立。

7. 向量夹角公式
   $$\cos \angle (\mathbf{a},\mathbf{b})=\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{|a||b|}$$

8. 柯西-施瓦茨不等式
   $$|\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}|\le |a||b|$$
   当且仅当 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 共线时，等号成立。

1.4 应用场景

• 计算向量夹角：$cos\theta =\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}$
• 物理中的功计算：$W=\mathbf{F}\cdot \mathbf{s}$
• 机器学习中的相似度计算

2. 向量的外积（叉积）

2.1 定义（仅适用于三维空间）

对于三维向量$\mathbf{a}=(a_x,a_y,a_z)$和$\mathbf{b}=(b_x,b_y,b_z)$：

$$\mathbf{a}\times \mathbf{b}=\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ a_x& a_y& a_z\\ b_x& b_y& b_z\end{array}\right|$$

模长计算公式：
$$|\mathbf{a}\times \mathbf{b}|=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|sin\theta$$

其方向遵循右手法则：

另外，也可以将向量的表示转化为矩阵的运算：

2.2 几何意义

• 结果向量垂直于原向量所在平面
• 模长等于两向量构成的平行四边形面积
• 方向遵循右手法则

2.3 重要性质

1. 反交换律：$\mathbf{a}\times \mathbf{b}=-\mathbf{b}\times \mathbf{a}$
2. 与自身叉积为零：$\mathbf{a}\times \mathbf{a}=0$
3. 分配律：$\mathbf{a}\times (\mathbf{b}+\mathbf{c})=\mathbf{a}\times \mathbf{b}+\mathbf{a}\times \mathbf{c}$

2.4 应用场景

• 计算平面法向量
• 物理中的力矩计算：$\mathbf{M}=\mathbf{r}\times \mathbf{F}$
• 计算三角形/平行四边形面积

3. 内积与外积对比

4. 记忆口诀

内积看投影，外积看面积
点积标量积，叉积向量生
右手定方向，正交看归零

理解要点：内积关注向量的"相似程度"，外积关注向量的"空间关系"