NO.36十六届蓝桥杯备战|位运算和操作符属性|进制转换|原码反码补码|左移|右移|按位与|按位或|按位异或|按位取反(C++)

操作符的分类

⼆进制和进制转换

15 的 2 进制：1111  
15 的 8 进制：17  
15 的 10 进制：15  
15 的 16 进制：F

//16进制的数值之前写：0x  
//8进制的数值之前写:0

⼆进制

⾸先我们还是得从 10 进制讲起，其实 10 进制是我们⽣活中经常使⽤的，我们已经形成了很多常识：
• 10 进制中满 10 进 1
• 10 进制的数字是由 0~9 的数字组成的
其实⼆进制也是⼀样的
• 2 进制中满 2 进 1
• 2 进制的数字是由 0~1 的数字组成的
那么 1101 就是⼆进制的数字了。

2进制转10进制

其实 10 进制的 123 表⽰的值是⼀百⼆⼗三，为什么是这个值呢？其实 10 进制的每⼀位是有权重的， 10 进制的数字从右向左是个位、⼗位、百位…，分别每⼀位的权重是$10^0,10^1,10^2\dots$

2 进制和 10 进制是类似的，只不过 2 进制的每⼀位的权重，从右向左是$2^0,2^1,2^2\dots$
1101

8进制数转10进制数，⽅法类似，只是权重是$8^0$ 开始，然后依次是：$8^0,8^1,8^2\dots$
16进制数转10进制数，⽅法类似，只是权重是$16^0$ 开始，然后依次是：$16^0,16^1,16^2\dots$

10进制转2进制数字

2进制转8进制

8 进制的数字每⼀位是 0~7 中的数字， 0~7 中的数字，各⾃写成 2 进制，最多有 3 个 2 进制位就⾜够了，⽐如 7 的⼆进制是 111 ，所以在 2 进制转 8 进制数的时候，从 2 进制序列中右边低位开始向左每 3 个 2 进制位会换算⼀个 8 进制位，剩余不够 3 个 2 进制位的直接换算。
如： 2 进制的 01101011 ，换成 8 进制： 0153 ， 0 开头的数字，会被当做 8 进制
8进制数转换2进制数是相关的过程，每⼀个8进制位转换成3个2进制位就⾏

2进制转16进制

16 进制的数字每⼀位是 0~9 , a~f 的， 0~9 , a~f 的数字，各⾃写成 2 进制，最多有 4 个 2 进制位就⾜够了，⽐如 f 的⼆进制是 1111 ，所以在 2 进制转 16 进制数的时候，从 2 进制序列中右边低位开始向左每 4 个 2 进制位会换算⼀个 16 进制位，剩余不够 4 个⼆进制位的直接换算。
如： 2 进制的 01101011 ，换成 16 进制： 0x6b ， 16 进制表⽰的时候前⾯加 0x 。

16进制数转换2进制数是相关的过程，每⼀个16进制位转换成3个2进制位就⾏

原码、反码、补码

其实说到 2 进制，在计算机内部，数值是以 2 进制的形式来进⾏表⽰和存储。后⾯要讲解的位运算的操作符就是针对整数的⼆进制来进⾏运算的

移位运算符：>> <<  
位运算符 ： & | ^

整数的 2 进制表⽰⽅法有三种，即原码、反码和补码；整数分为有符号整数(signed)和⽆符号整数(unsigned)。

有符号整数的原码、反码和补码的⼆进制表⽰中均由符号位和数值位两部分组成， 2 进制序列中，最⾼位的 1 位是被当做符号位，剩余的都是数值位，符号位都是⽤ 0 表⽰“正”，⽤ 1 表⽰“负”。
正整数的原、反、补码都相同。
负整数的三种表⽰⽅法各不相同，需要计算。

原码：直接将数值按照正负数的形式翻译成⼆进制得到的就是原码。
反码：将原码的符号位不变，其他位依次按位取反就可以得到反码。
补码：反码 +1 就得到补码。
由补码得到原码也是可以使⽤：取反， +1 的操作。

int a = -10;  
原码：10000000 00000000 00000000 00001010  
反码：11111111 11111111 11111111 11110101  
补码：11111111 11111111 11111111 11110110  
int a = 10;  
原码：10000000 00000000 00000000 00001010  
反码：10000000 00000000 00000000 00001010  
补码：10000000 00000000 00000000 00001010

⽆符号整数的三种 2 进制表⽰相同，没有符号位，每⼀位都是数值位。

整数在内存中是以补码的形式存储的，整数在参与位运算的时候，也都是使⽤内存中的补码进⾏计算的，计算的产⽣的结果也是补码，需要转换成原码才是真实值。

在计算机系统中，整数的数值⼀律⽤补码来表⽰和存储。原因在于，使⽤补码，可以将符号位和数值域统⼀处理；同时，加法和减法也可以统⼀处理（CPU只有加法器）此外，补码与原码相互转换，其运算过程是相同的，不需要额外的硬件电路

练习

B3619 10 进制转 x 进制 - 洛谷

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

string s = "0123456789ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ";

void n_to_x(int n, int x)
{
    if (n >= x)
        n_to_x(n / x, x);
    
    cout << s[n % x];
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);

    int n, x;
    cin >> n >> x;
    n_to_x(n, x);
    
    return 0;
}

B3620 x 进制转 10 进制 - 洛谷

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);

    int x;
    string s;
    cin >> x >> s;
    size_t n = s.size();
    int j = 0;
    int sum = 0;
    for (int i = n-1; i >= 0; i--)
    {
        if(s[i] <= '9')
            sum += (s[i] - '0') * pow(x, j);
        else
            sum += (s[i] - 'A' + 10) * pow(x, j);
        j++;
    }
    cout << sum << endl;
    
    return 0;
}

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);

    int x;
    string s;
    cin >> x >> s;
    int ret = stoi(s, NULL, x);
    cout << ret << endl;
    return 0;
}

P1143 进制转换 - 洛谷

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

string x = "0123456789ABCDEF";
void n_to_m(int t, int m)
{
    if (t >= m)
        n_to_m(t / m, m);
    cout << x[t % m];
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);

    int n, m;
    string s;
    cin >> n >> s >> m;
    int t = stoi(s, NULL, n);
    n_to_m(t, m);
    
    return 0;
}

位运算操作符

<< //左移操作符  
>> //右移操作符  
& //按位与操作符
| //按位或操作符
^ //按位异或操作符
~ //按位取反操作符

左移操作符

左移操作符是双⽬操作符，形式如下：

int num = 10;  
num << i; //将num的⼆进制表⽰，左移i位

#include <iostream>  
using namespace std;  
int main()  
{  
	int num = 10;  
	int n = num << 1;  
	cout << "n = " << n << endl;  
	cout << "num = " << num << endl;  
	
	return 0;  
}

右移操作符

右移操作符是双⽬操作符，形式如下：

num >> i;//将num的⼆进制表⽰右移i位

#include <iostream>  
using namespace std;  
int main()  
{  
	int num = -1;  
	int n = num >> 1;  
	cout << "n = " << n << endl;  
	cout << "num = " << num << endl;  
	
	return 0;  
}

右移运算分两种：逻辑右移和算术右移，具体采⽤哪种右移⽅式取决于编译器，⼤部分的编译器采⽤的是算术右移。两种移位⽅式的规则如下：

1. 逻辑右移：左边⽤ 0 填充，右边丢弃
2. 算术右移：左边⽤原该值的符号位填充，右边丢弃
   逻辑右移
   

算数右移

对于移位运算符，不要移动负数位，这个是标准未定义的

按位与操作符

按位与操作符是双⽬操作符，形式如下：

a & b; //a和b按位与运算

对两个数的对应⼆进制位进⾏与运算，只有对应的两个⼆进位都为 1 时，结果才为 1

#include <iostream>  
using namespace std;  
int main()  
{  
	int a = -5;  
	int b = 7;  
	int c = a & b;  
	cout << c << endl;  
	
	return 0;  
}

-5的原码： 10000000 00000000 00000000 00000101
-5的反码： 11111111 11111111 11111111 11111010
-5的补码： 11111111 11111111 11111111 11111011
7的补码：00000000 00000000 00000000 00000111

-5的补码和7的补码按位与运算如下

计算得到⼆进制是： 00000000 00000000 00000000 00000011 ，这个⼆进制序列当作补码时，且最⾼是 1 ，说明是正数，所以原码也是这个，所以最终 c 为 3

按位或操作符

按位或操作符是双⽬操作符，形式如下

a | b; //a和b按位或运算

对两个数的对应⼆进制位进⾏或运算，对应的两个⼆进位只要有 1 ，或结果就为 1

#include <iostream>  
using namespace std;  
int main()  
{  
	int a = -5;  
	int b = 7;  
	int c = a | b;  
	cout << c << endl;  
	
	return 0;  
}

-5的原码： 10000000 00000000 00000000 00000101
-5的反码： 11111111 11111111 11111111 11111010
-5的补码： 11111111 11111111 11111111 11111011
7的补码：00000000 00000000 00000000 00000111
-5的补码和7的补码按位或运算如下：

计算得到⼆进制是： 11111111 11111111 11111111 11111111 ，这个⼆进制序列当作补码
时，且最⾼是 1 ，说明是负数，求的原码为： 10000000 00000000 00000000 00000001 ，所以最终c为 -1 。

按位异或操作符

按位异或操作符是双⽬操作符，形式如下：

a ^ b; //a和b按位异或运算

对两个数的对应⼆进制位进⾏异或运算，对应的两个⼆进位相同则为 0 ，相异则为 1

#include <iostream>  
using namespace std;  
int main()  
{  
	int a = -5;  
	int b = 7;  
	int c = a ^ b;  
	cout << c << endl;  
	
	return 0;  
}

-5的原码： 10000000 00000000 00000000 00000101
-5的反码： 11111111 11111111 11111111 11111010
-5的补码： 11111111 11111111 11111111 11111011
7的补码：00000000 00000000 00000000 00000111
-5的补码和7的补码按位异或运算如下：

计算得到⼆进制是： 11111111 11111111 11111111 11111100 ，这个⼆进制序列当作补码
时，且最⾼是 1 ，说明是负数，求的原码为： 10000000 00000000 00000000 00000100 ，所以最终 c 为 -4

按位取反操作符

按位取反操作符是单⽬操作符，形式如下：

~a; //对a的⼆进制位按位取反

对操作数的⼆进制位进⾏按位取反运算， 2 进制是 0 的变成 1 ，是 1 的变成 0

#include <iostream>  
using namespace std;  
int main()  
{  
	int a = -5;  
	int b = ~a;  
	cout << b << endl;  
	
	return 0;  
}

-5的原码： 10000000 00000000 00000000 00000101
-5的反码： 11111111 11111111 11111111 11111010
-5的补码： 11111111 11111111 11111111 11111011
对-5的补码按位取反运算如下：

计算得到⼆进制是： 00000000 00000000 00000000 00000100 ，这个⼆进制序列当作补码时，且最⾼是 0 ，说明是正数，所以原码也是这个，最终 c 为 -4