动态规划详解（四）：线性DP原理深度剖析

目录

一、线性DP的本质与核心地位

二、线性DP的三大特征

三、线性DP的四种经典类型

四、解题方法论：五步破解线性DP

1. 状态定义

2. 转移方程

3. 初始化

4. 遍历顺序

5. 结果提取

五、经典案例详解

1. 最长上升子序列（LIS）

问题描述

Java实现

优化技巧

2. 最长公共子序列（LCS）

问题描述

Java实现

空间优化

3. 最大子数组和（Kadane算法）

问题描述

Java实现

算法分析

六、高频问题变形：带维度的线性DP

1. 买卖股票的最佳时机（含冷冻期）

状态定义

Java实现

七、线性DP优化技巧

1. 滚动数组压缩

2. 状态机优化

3. 前缀和加速

八、LeetCode实战训练

基础练习

进阶挑战

九、常见错误与调试技巧

十、总结

一、线性DP的本质与核心地位

        线性动态规划（Linear DP） 是动态规划中最基础但应用最广泛的类型，其特点是状态转移沿着线性维度展开。在LeetCode等算法平台中，超过40%的动态规划问题属于线性DP范畴。掌握线性DP的解题范式，是打开动态规划大门的金钥匙。

二、线性DP的三大特征

1. 单维度状态转移：状态转移仅沿单一方向递推

2. 无后效性：当前状态仅依赖前序状态，与后续状态无关

3. 状态紧凑：通常用一维或二维数组存储状态

三、线性DP的四种经典类型

四、解题方法论：五步破解线性DP

1. 状态定义

• 明确语义：dp[i]或dp[i][j]的具体含义

• 示例：

  • LIS问题：dp[i]表示以nums[i]结尾的最长上升子序列长度

  • LCS问题：dp[i][j]表示text1[0..i]与text2[0..j]的最长公共子序列长度

2. 转移方程

• 找出状态间关系：分析当前状态如何从前序状态推导

• 示例：

  • LIS转移方程：dp[i] = max(dp[j]) + 1 (0 ≤ j < i且nums[j] < nums[i])

3. 初始化

• 设置起点状态：通常初始化dp[0]或边界条件

• 示例：

  • 最小路径和：dp[0][0] = grid[0][0]

4. 遍历顺序

• 确定计算方向：根据状态依赖关系选择正序/逆序

• 示例：

  • 单串DP通常正序遍历

  • 某些问题需要逆序（如滚动数组优化）

5. 结果提取

• 从状态数组中获取答案：最大值、最小值或特定位置值

• 示例：

  • LIS最终结果：max(dp[i])

五、经典案例详解