Mamba组件：状态空间模型简介

作为SSM的核心概念，状态空间本质上是一个包含描述系统完整状态所需最小数量变量的集合。它提供了一种以数学方式表达问题的方法，即通过定义系统的所有可能状态来揭示其内在运行机制。以穿越迷宫为例，迷宫中的“状态空间”就好比是一幅详尽的地图，其中每个点代表迷宫中的一个独特位置，这些位置都携带着特定的信息，比如距离出口的具体距离、周围环境的布局等。

想象你在一个迷宫里，目标是从起点走到终点。在这个迷宫中，每个位置（比如你现在站的格子）都可以看作一个“状态”。迷宫的每个格子都可能是一个状态，所以整个迷宫的布局就构成了一个巨大的状态空间。

在迷宫中移动时，你可以向上、向下、向左或向右走，但有时路可能被墙壁阻挡。每次你从一个格子移动到另一个格子，就表示状态的改变。状态空间模型就是用来描述和跟踪你在迷宫中每个可能位置的。

简单来说，状态空间模型可以帮助我们搞清楚在迷宫里从任何一个点到达任何其他点的可能性。如果我们把整个迷宫的所有可能行走路径都想清楚，那么找到从起点到终点的路径就会变得容易多了。

这就是迷宫问题中的状态空间模型——考虑所有可能的位置和移动，然后找出最好的路线到达目的地。这种模型不仅适用于实际的迷宫，也适用于任何需要从一个位置到另一个位置的场景，如图3-2所示。

图3-2  一个寻路的状态空间表示

“状态空间表示”是对系统动态行为的直观且简化的描述。它直观地展示了当前所处的位置（即当前状态）、未来可能到达的地点（潜在的未来状态），以及导致这些状态转移的具体变化（如向右或向左的移动）。

尽管状态空间模型依赖于复杂的方程和矩阵来精确追踪这种行为的演变，但其核心目的仍在于提供一种有效的方法来追踪位置、潜在路径以及到达目标的方式。在状态空间模型中，描述系统状态的变量（例如，在迷宫中可能是X和Y坐标以及到出口的距离）被抽象为“状态向量（state vectors）”。这些向量不仅捕捉了当前状态的关键信息，还揭示了状态之间的转换关系。

类似地，在自然语言处理领域，语言模型中的嵌入或向量也扮演着描述输入序列“状态”的重要角色。这些嵌入向量通过捕捉单词或短语的语义信息，将文本数据转换为能够被神经网络理解和处理的高维空间中的点。通过这种方式，语言模型能够像状态空间模型一样，捕捉文本序列中的长期依赖关系，并据此生成准确且连贯的输出。因此，状态空间表示和语言模型中的嵌入向量，虽然在具体实现和应用上存在差异，但它们的本质都是对系统或数据状态的一种抽象和表示。例如，当前位置的向量（状态向量）如图3-3所示。

图3-3  迷宫中的状态向量

就神经网络而言，系统的“状态”通常是其隐藏状态，在大型语言模型的背景下，这是生成token的重要表示之一。

更进一步，如果我们假设动态系统的状态空间模型（例如在3D空间中移动的物体），并用两个核心方程来预测其行为，这些方程基于系统在时间t的状态进行建模。这些方程通常包括一个状态转移方程和一个观测方程。

1. 状态转移方程

状态转移方程描述了系统从一个时间步到下一个时间步的状态变化。在3D空间中移动的物体，状态可能包括物体的位置（x、y坐标）、与出口的距离（distance）等。状态转移方程捕获了这些状态变量如何随时间变化，通常包括一些表示系统动态（如物理定律）的参数。一个简单的例子（不考虑外部力和加速度的简化情况）如下：

其中，(x, y)t和dt分别是物体在时间t的位置和距离出口的距离，Δt是时间步长。

2. 观测（输出）方程

观测方程又称为输出方程，其描述了如何从系统的状态变量得到我们实际可以观测到的数据。在实际情况中，由于传感器噪声、测量误差等因素，我们观测到的数据可能与系统的真实状态有所偏差。观测方程通常包括一个噪声项来模拟这种偏差。

在状态空间中，如果我们有一个能够测量物体位置的传感器，那么观测方程可能简单地是物体位置的一个带噪声的版本：

其中，zt是我们在时间t观测到的位置，xt是物体的真实位置，noise是一个表示测量误差的随机变量。

通过这两个方程，我们可以使用“状态空间模型”来模拟“状态空间的转移和输出”，从而能够为我们提供一个框架来理解和预测动态系统的行为，如图3-4所示。

图3-4  状态方程与输出方程的整合

在给定系统当前状态（和可能的观测数据）的情况下，我们可以使用状态转移方程来预测系统的未来状态，并使用观测方程来验证我们的预测是否与观测数据一致。

状态空间模型（SSM）是一种功能强大的统计工具，旨在精准地描述和预测随时间演进的复杂系统的动态状态。通过将状态空间模型的核心思想与深度学习技术相结合，开创了一种前沿的神经网络架构，这一架构不仅继承了Transformer的高效并行训练能力，同时维持了RNN的线性推理速度，从而在性能上实现了质的飞跃。

状态空间模型是用于描述这些状态表示并根据某些输入预测其下一个状态可能是什么的模型。在时间t的状态下：

• 输入序列x(t)：例如，在迷宫中向左和向下移动。
• 到潜在状态的表示h(t)：例如，距离出口的x/y坐标。
• 预测输出序列y(t)：例如，再次向左移动以更快到达出口。

然而，状态空间模型在处理系统动态时并不局限于离散（discrete）的序列事件（如向左移动一次）。相反，它采用了更为灵活和泛化的方法，即将连续序列（continuous sequence）作为输入，并据此预测输出序列。

这种方法使得状态空间模型能够处理更为复杂和细微的系统变化。例如，在迷宫问题中，状态空间模型不仅可以考虑“向左”或“向右”的离散动作，还可以处理诸如“以0.5的速度向左上方移动”这样的连续动作。通过捕捉这种连续变化，状态空间模型能够更精确地模拟系统的动态行为，并预测出更为准确的未来状态。

同样地，在自然语言处理中，连续序列的概念也尤为重要。与传统的基于离散词汇的模型相比，基于连续嵌入向量的语言模型能够更好地捕捉词汇之间的语义关系，并生成更为流畅和自然的文本。通过将文本序列视为连续的空间中的点，这些模型能够利用深度学习的强大能力，从海量数据中学习出词汇和句子之间的复杂依赖关系，如图3-5所示。

它不使用离散序列（如向左移动一次），而是将连续序列作为输入并预测输出序列。因此，通过将连续序列作为输入和预测目标，状态空间模型不仅在理论上具有更高的泛化能力，而且在实际应用中也能够处理更为复杂和细微的系统变化，为我们提供了更为精确和有效的建模工具。

根据我们在前面介绍的状态空间模型，对于完整的状态空间模型，我们可以通过假设一些可以与深度学习进行结合的模型公式来完成设计。具体如下：

（1）状态方程：h'(t) = Ah(t) + Bx(t)

这一方程描述了系统状态h随时间t的演变规律，其中A是状态转移矩阵，B是输入矩阵，x(t)是外部输入。通过该方程，我们可以根据当前状态h(t)和外部输入x(t)来预测下一时刻的状态h'(t)。

（2）输出方程：y(t) = Ch(t) + Dx(t)

这一方程建立了系统状态h(t)与外部观测y(t)之间的联系，其中C是输出矩阵，D是直接传输矩阵。通过该方程，我们可以根据系统状态h(t)和外部输入x(t)来计算观测值y(t)，从而验证我们的状态预测是否准确。

因此，我们的目标是能求解这些方程，之后就可以根据统计原理和观察到的数据（输入序列和先前状态）预测系统的状态，目标是找到从输入序列到输出序列的状态表示h(t)。状态空间模型的核心方程如图3-6所示。

图3-6  SSM核心公式