3D 射线方程学习

三维射线方程是描述一个从某点出发，并沿某个方向延伸的线段的方程。

一、射线

1. 射线方程的基本形式

在三维空间中，射线方程可以用参数化的方式表示为：

• P(t)是射线上的点，在任意参数 t 处的位置。
• P0是射线的起始点（原点），也称为射线的源点(x0, y0, z0)。
• D 是射线的方向向量(dx, dy, dz)，表示射线沿哪个方向延伸。这个向量通常是单位向量，表示方向，但可以是任意长度的向量。
• t 是参数，它表示射线上的位置，t 通常是非负的，因为射线是从原点出发并向某个方向延伸的。

射线方程表示了一个从点 P0 开始，沿着方向 D 延伸的所有点。

2. 参数 t 的意义

• t=0 时，P(0)=P0，也就是说，射线在起始点 P0。
• 当 t > 0 时，射线沿着方向 d 延伸，t 越大，射线上的点越远离起始点。
• t < 0 时，射线的点位于起始点的反方向。

射线通常考虑 t ≥ 0，即射线是从 P0 沿着方向 D 向前延伸的。如果我们允许 t 为负值，则可以表示一个双向线段。

二、射线与XZ平面交点

1、XZ平面的方程

XZ平面的方程是：

y = 0

因为在XZ平面上，所有点的 y 坐标都为 0 。

2、求交点

为了求射线与XZ平面的交点，我们需要找到射线方程中的参数 t ,使得射线在该点的 y 坐标为 0 。

从射线方程中，射线在任意点的 y 坐标为：

P(y) = P0(y) + t ⋅ Dy

为了与XZ平面相交，我们需要 P(y) = 0，即：

P0(y) + t ⋅ Dy = 0

解这个方程得到：

t = - P0(y) / Dy

这里假设 Dy  0，即射线不是平行于XZ平面的。

3、计算交点

有了参数 t ,我们就可以通过射线方程计算交点的 x 和 z 坐标。射线在交点处的 x 坐标和 z 坐标分别为：

x = P0(x) + t ⋅ Dx

z = P0(z) + t ⋅ Dz

将 t = - P0(y) / Dy 代入上面两个公式，得到交点坐标：

(x, 0, z) = (P0(x) - P0(y) / Dy * Dx, 0, P0(z) - P0(y) / Dy * Dz)

注意:交点存在的前提是 Dy  0，如果 Dy = 0，射线就平行于XZ平面，不会与其相交。

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