《交互式线性代数》

《交互式线性代数》

*Interactive Linear Algebra*由Dan Margalit和Joseph Rabinoff编写，是一本聚焦线性代数的教材。本书旨在教授线性代数的核心概念、方法及其应用，通过代数与几何相结合的方式，帮助读者深入理解线性代数的本质，培养解决实际问题的能力。

核心内容

1. 线性方程组求解

   • 代数方法：介绍线性方程组的基本概念，如解的定义、解集等。通过消元法和行变换，将方程组转化为增广矩阵进行求解。同时，引入行阶梯形和简化行阶梯形矩阵，便于判断方程组解的情况。对于有解的方程组，可用参数形式表示其解集，根据自由变量的数量确定解的个数，包括唯一解、无穷多解和无解三种情况。

   • 几何意义：将向量引入线性方程组的研究，向量的加法、数乘及线性组合具有明确的几何解释。向量方程与线性方程组等价，通过$span$的概念可从几何角度理解方程组的解。矩阵方程 $Ax=b$的解集合与列空间密切相关，通过研究齐次和非齐次方程组的解集合，可深入理解线性方程组的几何意义。

2. 线性变换与矩阵代数

   • 线性变换的概念：矩阵可看作是一种函数，对应着各种几何变换，如投影、反射、旋转等。通过定义变换的定义域、值域和陪域，深入研究线性变换的性质。判断线性变换是否为一一对应和映上，对于理解变换的特性至关重要。
   • 矩阵运算：矩阵乘法对应着线性变换的复合，满足特定的运算规则，但不满足交换律。此外，还介绍了矩阵的加法、数乘运算及其性质，这些运算与线性变换的运算相互关联，为解决线性代数问题提供了有力工具。

3. 行列式：行列式是方阵的一个重要属性，通过其对行运算的行为来定义。计算行列式可使用行变换法和余子式展开法，同时行列式与矩阵的可逆性密切相关，还与体积存在几何联系，在多方面有着广泛的应用。

4. 特征值与特征向量：学习特征值、特征向量和特征多项式的概念及计算方法，理解相似性、对角化和复特征值等相关知识，这些内容在解决实际问题中具有重要作用，随机矩阵也是该部分的重要研究对象。

5. 正交性：介绍点积、正交补、正交投影等概念和性质，点积用于衡量向量的相似程度，正交补和正交投影在解决向量空间中的问题具有重要应用。最小二乘法用于近似求解问题，在数据建模等领域有广泛应用。

文章中使用的交互式处理库MathBox 是一个使用 WebGL 在浏览器中渲染高质量数学图形的库。它构建在 Three.js 和 ShaderGraph 之上，提供了一个简洁的 API 来可视化数学关系并以声明方式对其进行动画处理。