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C#，初学琼林（06）——幂的常规算法与递归算法、模幂（幂模）的快速算法及其C#源程序

article 2025/1/11 8:13:11

1、幂（Pow）的计算

幂（Pow）是数值计算的基本方法之一。

幂运算是一种关于幂的数学运算。同底数幂相乘，底数不变，指数相加。同底数幂相除，底数不变，指数相减。幂的乘方，底数不变，指数相乘。

掌握正整数幂的运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法），能用字母式子和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算。

幂运算的六个基本公式（高中）：

1、同底同指数幂的加减法公式，字母和指数均不变，系数相加减；

2、同底数幂乘法公式，底数不变，指数相加；

3、同底数幂除法公式：底数不变，指数相减；

4、不同底同指数幂的乘法公式，底数相乘，指数不变；

5、不同底同指数幂除法公式，底数相除，指数不变。

6、幂的乘方公式，底数不变，指数相乘。

2、原始算法

private void button1_Click(object sender, EventArgs e)
{
    int a = 11;
    int n = 4;
    int b = 1;
    while (n > 0)
    {
        b = a * b;
        n--;
    }

    n = 4;
    MessageBox.Show(a + "的" + n + "次幂= " + b, "幂的计算");
}

3、递归算法

private void button1_Click(object sender, EventArgs e)
{
    int a = 11;
    int n = 4;
    MessageBox.Show(a + "的" + n + "次幂= " + Pow(a, n), "幂的计算");
}

/// <summary>
/// 计算（整数）幂的递归算法
/// </summary>
/// <param name="a">基数</param>
/// <param name="n">幂次</param>
/// <returns></returns>
public static int Pow(int a, int n)
{
    if (n == 0)
    {
        return 1;
    }
    return a * Pow(a, --n);
}

4、预制块（库）函数

利用 C# (.NET)预先给定的库，无需编写上述代码。

private void button1_Click(object sender, EventArgs e)
{
    int a = 11;
    int n = 4;
    MessageBox.Show(a + "的" + n + "次幂= " + Math.Pow(a, n), "幂的计算");
}

5、适用性与存在的致命问题

5.1 适用性

（1）上述的程序，将 int 数值类型，修改为 long ,float, double, decimal 均适用；

（2）字符或字符串 char string 不能用哦！

（3）整数或浮点数拓展类，比如“复数”、“矩阵”，也可以在相关代码支持下进行“幂” 运算。

请更多知识阅读深度混淆的其他文章。

5.2 致命的问题

幂的运算实际上“一点儿也不好玩”。因为常常出错！

比如你只需将代码稍作修改：

private void button1_Click(object sender, EventArgs e)
{
    int a = 256;
    int n = 256;
    MessageBox.Show(a + "的" + n + "次幂= " + Pow(a, n), "幂的计算");
}

private void button1_Click(object sender, EventArgs e)
{
    int a = 256;
    int n = 256;
    MessageBox.Show(a + "的" + n + "次幂= " + Math.Pow(a, n), "幂的计算");
}

这些是典型的、无法逃脱的、致命的、数值计算之核心问题：

（1）数值超界！

（2）误差与精度问题！

6、幂的扩展——模幂的计算

模幂（也称为幂模）计算，是数值计算中常用一种算法：

/// <summary>
/// 模幂的快速算法
/// Calculates a^b mod m
/// </summary>
/// <param name="a">a</param>
/// <param name="b">b</param>
/// <param name="m">m</param>
/// <returns>a^b mod m</returns>
public static int power_modulo_fast(int a, int b, int m)
{
    long result = 1;
    long x = a % m;

    for (int i = 1; i <= b; i <<= 1)
    {
        x %= m;
        if ((b & i) != 0)
        {
            result *= x;
            result %= m;
        }
        x *= x;
    }

    return (int)result;
}

private void button1_Click(object sender, EventArgs e)
{
    int a = 251;
    int b = 5;
    int m = 13;
    MessageBox.Show(a + "的" + b + "次模" + m + "幂= " + Power_Module(a, b, m), "模幂的计算");
}

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