Z型隶属函数（Z-shaped Membership Function）的详细介绍及python示例
Z型隶属函数是模糊逻辑中常用的一种隶属函数，其形状类似于字母“Z”，呈现从1逐渐下降到0的平滑过渡。之前我们已经了解了S型隶属函数，而Z型通常和S型相关，它是S型隶属函数的反向形式，Z型是递减的，而S型是递增的。适用于描述变量从“完全隶属”到“完全不隶属”的递减过程，例如“低温”或“低风险”等模糊概念。
图1 S型隶属函数效果图
有关S型隶属函数的内容可以看我的CSDN文章：https://lzm07.blog.csdn.net/article/details/146439053
1. 数学定义
跟S型隶属函数一样，Z型隶属函数也通常由两个参数定义：
（1）c：中心点，隶属度开始快速下降的位置。
（2）s：斜率参数，控制下降的陡峭程度。
其数学表达式可以表示为：
或简化为基于Sigmoid的反向函数：
其中：
（1）a：控制曲线的陡峭程度（负值表示递减）。
（2）c：隶属度下降到0.5的位置（中点）。
2. 特点
（1）平滑递减：隶属度从1平滑过渡到0，避免突变。
（2）参数灵活：
c 控制中点位置（隶属度0.5对应的输入值）。
a 或 s 控制下降速度（绝对值越大，过渡越陡峭）。
（3）单边性：仅描述从“完全隶属”到“完全不隶属”的单向变化。
3. 应用场景
（1）模糊控制：描述“低温”随温度升高的隶属度递减。
（2）风险评估：定义“低风险”随风险值增加的隶属度下降。
（3）分类系统：判定“非目标类别”的隶属度逐渐降低。
（4）自然语言处理：表示“不满足条件”的渐变过程。
4. Python实现与可视化
（1）Z型隶属函数python代码
以下是生成Z型隶属函数图的Python代码示例：
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def z_shaped_mf(x, c, s):
"""
基于分段二次函数的Z型隶属函数
:param x: 输入值
:param c: 中心点（隶属度开始快速下降的位置）
:param s: 控制下降区间的宽度
:return: 隶属度
"""
if x <= c - s:
return 1.0
elif c - s < x <= c:
return 1 - 2 * ((x - (c - s)) ** 2 / (2 * s)) ** 2
elif c < x <= c + s:
return 2 * (((c + s - x) ** 2) / (2 * s)) ** 2
else:
return 0.0
# 定义参数
c = 5.0 # 中心点
s = 2.0 # 控制下降区间宽度
# 生成输入值
x_values = np.linspace(0, 10, 1000)
# 计算隶属度
y_values = [z_shaped_mf(x, c, s) for x in x_values]
# 绘制图形
plt.figure(figsize=(8, 4))
plt.plot(x_values, y_values, label=f'Z-shaped MF: c={c}, s={s}')
plt.title('Z-shaped Membership Function')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('Membership Degree (μ)')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()（2）代码说明
1）函数定义：
z_shaped_mf函数使用分段二次函数实现Z型曲线，参数 c 和 s 控制形状。
当 x≤c-s 时，隶属度为1；当x>c+s 时，隶属度为0；中间区间平滑过渡。
2）参数设置：
c = 5.0：隶属度从1开始下降的中心点。
s = 2.0：控制下降区间宽度（[c-s,c+s] 为过渡区间）。
（3）运行结果：
图形在x=3（即c-s=5-2）之前隶属度为1，之后逐渐下降，在x=7（即c+s=5+2）之后为0。
图2 c = 5.0和s = 2.0时Z型隶属函数效果图
6. 参数调整示例
（1）调整中心点c：
c = 6.0 # 隶属度下降中心右移隶属度在x=4 到x=8 之间下降。s = 2.0时，效果图如下：
图3 c = 6.0和s = 2.0时Z型隶属函数效果图
（2）调整宽度 s：
s = 1.0 # 下降区间变窄隶属度在x=4 到x=6之间快速下降。c = 5.0时，效果图如下：
图4 c = 5.0和s = 1.0时Z型隶属函数效果图
7. 与S型隶属函数的对比
（1）Z型：隶属度从1递减到0，适合描述“非”或“低”概念。
（2）S型：隶属度从0递增到1，适合描述“是”或“高”概念。
两者可结合使用，构建对称或互补的模糊集合（例如“低温”和“高温”）。
| 特征 | Z型隶属函数 | S型隶属函数 |
| 形状 | 递减曲线（从1到0，类似字母“Z”） | 递增曲线（从0到1，类似字母“S”） |
| 数学表达式 |  |  |
| 参数意义 | - c：隶属度0.5的位置 - a：负值控制下降速度 | - c：隶属度0.5的位置 - a：正值控制上升速度 |
| 适用场景 | 描述“低值”或“否定”概念（如低温、低风险） | 描述“高值”或“肯定”概念（如高温、高风险） |
| 计算复杂度 | 中等（涉及指数运算） | 中等（与Z型相同） |
| 平滑性 | 平滑递减，无突变 | 平滑递增，无突变 |
| 组合使用 | 与S型结合可覆盖全范围（如低温+高温） | 与Z型结合可实现对称逻辑（如低风险+高风险） |
8. 优缺点分析
（1）优点：平滑过渡，避免隶属度突变。参数直观，易于调整形状。
（2）缺点：计算复杂度略高于三角形/梯形函数。无法直接描述多峰或对称集合。
9. 实际应用案例
Z型案例：空调控制系统中的“低温”判定
（1）输入变量：温度T（范围：0°C 到 30°C）。
（2）Z型隶属函数参数：c=15°C，s=5°C。
1）当T≤10°C 时，隶属度为1（完全属于“低温”）。
2）当T 在10°C 到20°C 之间时，隶属度逐渐下降。
3）当T>20°C 时，隶属度为0（不属于“低温”）。
Z型+S型结合案例：温度控制系统
（1）目标：根据温度T 控制冷气阀门开度 Y。
（2）输入变量：温度T（范围：0°C 到 40°C）。
（3）模糊集合：
低温（Z型）：隶属度从1递减到0，中心点c=15°C，斜率a=-0.5。
高温（S型）：隶属度从0递增到1，中心点c=25°C，斜率a=0.5。
（4）输出逻辑：
若温度“低温”隶属度高，则减少阀门开度。
若温度“高温”隶属度高，则增加阀门开度。
（5）Z型与S型结合使的Python代码示例：
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def sigmoid_mf(x, a, c, is_increasing=True):
"""S型或Z型隶属函数"""
sigmoid = 1 / (1 + np.exp(-a * (x - c)))
return sigmoid if is_increasing else 1 - sigmoid
# 参数设置
x = np.linspace(0, 40, 1000) # 温度范围：0°C 到 40°C
# Z型（低温）：中心点15°C，斜率-0.5
z_low = [sigmoid_mf(t, a=-0.5, c=15, is_increasing=False) for t in x]
# S型（高温）：中心点25°C，斜率0.5
s_high = [sigmoid_mf(t, a=0.5, c=25, is_increasing=True) for t in x]
# 绘制Z型和S型曲线
plt.figure(figsize=(10, 5))
plt.plot(x, z_low, 'b', label='Z-shaped (Low Temperature: c=15, a=-0.5)')
plt.plot(x, s_high, 'r', label='S-shaped (High Temperature: c=25, a=0.5)')
plt.title('Combined Z-shaped and S-shaped Membership Functions')
plt.xlabel('Temperature (°C)')
plt.ylabel('Membership Degree')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()
# 结合使用：计算阀门的建议开度（示例逻辑）
valve_opening = np.maximum(np.array(z_low), np.array(s_high))
# 绘制阀门开度建议
plt.figure(figsize=(10, 5))
plt.plot(x, valve_opening, 'g', label='Valve Opening Suggestion (Max of Z & S)')
plt.title('Valve Opening Based on Combined Membership')
plt.xlabel('Temperature (°C)')
plt.ylabel('Valve Opening Degree')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()代码说明与输出结果
1）参数定义：
·Z型（低温）：中心点c=15°C，斜率a=-0.5，表示温度低于15°C时隶属度高，逐渐递减。
·S型（高温）：中心点c=25°C，斜率a=0.5，表示温度高于25°C时隶属度高，逐渐递增。
2）图形输出：
·第一张图：展示Z型（蓝色）和S型（红色）隶属函数曲线，低温在左侧隶属度高，高温在右侧隶属度高。
图5 Z型和S型结合隶属函数对输入变量转换效果图
·第二张图：基于两者隶属度的最大值生成阀门开度建议，温度在15°C到25°C之间时，开度由两者的较高值决定。
图6 Z型和S型结合隶属函数对输出变量控制效果图
3）逻辑解释：
当温度低于15°C时，Z型隶属度高，阀门开度低（减少制冷）。
当温度高于25°C时，S型隶属度高，阀门开度高（增强制冷）。
在15°C到25°C之间，阀门开度由两者中较高的隶属度决定，实现平滑过渡。
4）结合使用的优势
·覆盖全范围：Z型和S型组合可描述从“低温”到“高温”的全温度范围。
·平滑过渡：中间区域的隶属度由两者共同决定，避免控制突变。
·灵活调整：通过修改参数 a 和 c，可精确控制过渡区间和陡峭程度。
10. 总结
Z型隶属函数通过平滑递减的特性，为模糊系统提供了描述“否定”或“低值”概念的有效工具。结合S型函数，可构建覆盖全范围的模糊逻辑系统，适用于控制、分类和风险评估等场景。通过调整参数c 和 s，可灵活适应不同需求。