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蓝桥杯1463：货物摆放问题详解——数学思维与代码优化

article 2025/3/30 22:46:37

一、题目分析与数学建模

二、直接暴力法的局限性

三、优化策略：因数分解与三元组枚举

步骤 1：收集所有因数

步骤 2：三元组枚举优化

四、代码实现与优化技巧

五、复杂度分析与性能提升

六、总结与拓展思考

关键点总结

拓展思考

七、完整代码与验证

验证说明

一、题目分析与数学建模

题目描述：
小蓝需要将 n 个正方体货物摆成一个大的长方体，要求长、宽、高分别为 L×W×H，且 L×W×H = n。顺序不同视为不同方案（如 1×2×3 和 2×1×3 是两种方案）。求当 n=2021041820210418 时的方案总数。

数学建模：
问题转化为求所有满足 L×W×H = n 的正整数三元组 (L, W, H) 的数量。由于顺序不同算不同方案，因此需枚举所有可能的排列组合。

二、直接暴力法的局限性

若直接使用三重循环遍历所有可能的 L、W、H 组合，时间复杂度为 O(n³)，对于 n=2×10¹⁶ 的情况显然不可行。例如，当 n=2021041820210418 时，直接枚举需要 10⁴⁸ 次操作，远超计算机处理能力。

三、优化策略：因数分解与三元组枚举

步骤 1：收集所有因数

因数对称性：若 i 是 n 的因数，则 n/i 也是因数。
遍历到√n：遍历 i 从 1 到 √n，若 i 能整除 n，则将 i 和 n/i 加入因数列表。
去重：当 i = n/i 时（即 n 是完全平方数），仅添加一次。

示例：当 n=4 时，因数为 [1, 2, 4]。

步骤 2：三元组枚举优化

双重循环遍历因数：遍历所有可能的 i 和 j（因数列表中的元素）。
提前剪枝：若 i×j > n，则直接跳过。
计算目标值：target = n/(i×j)，若 target 是因数，则计数加 1。
二分查找优化：将因数列表排序后，通过二分查找快速判断 target 是否存在。

四、代码实现与优化技巧

import bisect

def count_solutions(n):
    # 步骤1：收集所有因数
    factors = []
    for i in range(1, int(n**0.5) + 1):
        if n % i == 0:
            factors.append(i)
            if i != n // i:
                factors.append(n // i)
    factors.sort()  # 排序以便二分查找
    
    count = 0
    # 步骤2：双重循环枚举i和j
    for i in factors:
        for j in factors:
            product = i * j
            if product > n:
                continue  # 提前剪枝
            if n % product != 0:
                continue  # 无法整除则跳过
            target = n // product
            # 二分查找target是否在因数列表中
            idx = bisect.bisect_left(factors, target)
            if idx < len(factors) and factors[idx] == target:
                count += 1
    return count

# 测试示例
n_example = 4
print(count_solutions(n_example))  # 输出6

# 正式题目输入
n_problem = 2021041820210418
print(count_solutions(n_problem))  # 输出2430

五、复杂度分析与性能提升

因数数量：n=2021041820210418 的因数数量为 128 个（知识库中给出的测试结果）。
时间复杂度：
- 因数收集：O(√n) → 可忽略，因 n 的因数数量远小于 √n。
- 双重循环：O(d(n)²)，其中 d(n) 是因数数量。
- 二分查找：O(log d(n))。
  总复杂度：O(d(n)² log d(n)) → 对 d(n)=128，计算量为 128² × 7 ≈ 1.1e5，远快于三重循环的 128³ ≈ 2e6。

六、总结与拓展思考

关键点总结

因数分解：将问题从遍历 n 的所有可能值，转化为遍历因数的组合，极大减少计算量。
剪枝优化：提前判断 i×j > n，避免无效计算。
二分查找：利用有序因数列表快速判断目标值是否存在。

拓展思考

高维问题：可扩展到四维或更高维度的乘积问题，方法类似。
数学应用：因数分解是数论问题中的核心技巧，如密码学、组合优化等场景。

七、完整代码与验证

import bisect

def count_solutions(n):
    factors = []
    for i in range(1, int(n**0.5) + 1):
        if n % i == 0:
            factors.append(i)
            if i != n // i:
                factors.append(n // i)
    factors.sort()
    count = 0
    for i in factors:
        for j in factors:
            product = i * j
            if product > n:
                continue
            if n % product != 0:
                continue
            target = n // product
            idx = bisect.bisect_left(factors, target)
            if idx < len(factors) and factors[idx] == target:
                count += 1
    return count

# 蓝桥杯题目答案
print(count_solutions(2021041820210418))  # 输出2430