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MATLAB 控制系统设计与仿真 - 29

article 2025/4/1 18:29:15

用极点配置设计伺服系统

方法1-前馈修正

对于一个可控的系统，我们知道可以用极点配置来得到系统的动态响应指标，但是系统有时会存在较大的静态误差。

例如：

系统的状态矩阵如下，试求取其阶跃响应。

$A=\begin{bmatrix} 0 & 1\\ -9 & -1 \end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}, C=\begin{bmatrix} 1& 0 \end{bmatrix},D=0$

MATLAB 代码如下：

clear all;clc;
A=[0 1;-9 -1];
B=[0 ;1];
C=[1 0];
D=0;
sys0=ss(A,B,C,D);
step(sys0)
grid on

程序运行结果如下：

有上图可知，原系统的动态响应性能很差，并且有较大的静态误差。

首先我们可以用极点配置，改善系统的动态特性。

MATLAB程序代码入下：

clear all;clc;
A=[0 1;-9 -1];
B=[0 ;1];
C=[1 0];
D=0;
sys0=ss(A,B,C,D);
[y0 t0]= step(sys0,12);
Co = ctrb(A,B);
m=rank(Co);    %% m=2 controllable
p=[-100 -200];
k=place(A,B,p);
sys1=ss(A-B*k,B,C,D);
[y1 t1]= step(sys1,12);
yyaxis left
plot(t0,y0);
yyaxis right
plot(t1,y1);
grid on
legend('原系统','极点配置后的新系统')

程序运行结果如下：

有上图可知，通过极点配置后，系统的动态特性得到了较好的改善，但是系统然后存在较大的静态误差。

有系统的状态方程可知,系统达到稳态时： $\dot{x}_{ss}=0=Ax_{ss}+Bu_{ss} \\ y_{ss}=Cx_{ss}$

如果我们可以在前馈对输入进行滤波，那么我们可以消除静态误差，其方框图如下所示：

$u_{ss}=Gr-Kx_{ss}$

结合上式，我们可求出：

$G=-inv(C*inv(A-BK)*B)$

例如，消除上述系统的静态误差。

MATLAB代码如下：

clear all;clc;
A=[0 1;-9 -1];
B=[0 ;1];
C=[1 0];
D=0;
sys0=ss(A,B,C,D);
p=[-100 -200];
k=place(A,B,p);
sys1=ss(A-B*k,B,C,D);
[y,t]=step(sys1,1);
y1=y*(-inv(C*inv(A-B*k)*B));
yyaxis left
plot(t,y)
grid on
yyaxis right
plot(t,y1)
legend('极点配置后的新系统','极点配置+消除静态误差的新系统')

程序运行结果如下：