【C++游戏引擎开发】《线性代数》（2）：矩阵加减法与SIMD集成

一、矩阵加减法数学原理

1.1 定义

• ​逐元素操作：运算仅针对相同位置的元素，不涉及矩阵乘法或行列变换。
• ​交换律与结合律：
  加法满足交换律（A + B = B + A）和结合律（ ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ）。
  ​减法不满足交换律（A − B ≠ B − A）。

1.2 公式

​$$C_{ij}=A_{ij}+B_{ij}\text{(矩阵加法)}$$
$$C_{ij}=A_{ij}-B_{ij}\text{(矩阵减法)}$$

​前提条件：两个矩阵的行列数必须相同。

二、SIMD指令集简介

2.1 AVX2基础

• 256位寄存器（__m256），单寄存器可存储8个float。
• 关键指令：

_mm256_load_ps()    // 从对齐内存加载数据到寄存器  
_mm256_add_ps()     // 寄存器加法
_mm256_sub_ps()     // 寄存器减法  
_mm256_store_ps()   // 将寄存器数据存回内存  

2.2 头文件

#include <immintrin.h>  // AVX指令集头文件  

三、SIMD优化矩阵加法实现

3.1 内存管理与对齐

Matrix(size_t rows, size_t cols)
    : rows_(rows), cols_(cols),
      data_(static_cast<float*>(_aligned_malloc(rows* cols * sizeof(float), kSimdAlignment))) {
   
    if (!data_) throw std::bad_alloc();
    // 显式初始化内存为0
    std::memset(data_, 0, rows * cols * sizeof(float));
}

~Matrix() {
    _aligned_free(data_); }

• 功能：确保矩阵数据内存按32字节对齐（AVX2指令集要求）
• ​关键点：
  a) 使用 _aligned_malloc 分配对齐内存
  b) 析构时通过 _aligned_free 释放内存
  c) 内存不足时抛出 bad_alloc 异常

3.2 二维下标访问

class RowProxy {
   
public:
    float& operator[](size_t col) {
   
        if (col >= cols_) throw std::out_of_range("Column index out of range");
        return row_start_[col];
    }
    // ...
};

RowProxy operator[](size_t row) {
   
    if (row >= rows_) throw std::out_of_range("Row index out of range");
    return RowProxy(data_ + row * cols_, cols_);
}

• 设计目标：实现类似原生二维数组的 matrix[i][j] 语法
• 实现原理：
  a) operator[] 返回临时代理对象 RowProxy
  b) 代理对象二次重载 operator[] 实现列访问
  c) 每次访问自动验证行列索引合法性
• 优势：
  a) 语法直观：mat[1][2] = 3.0f;
  b) 安全性：自动边界检查
  c) 性能：代理对象轻量（仅存储指针和列数）

3.3 SIMD优化加减法

Matrix add_simd(const Matrix& other) const {
   
    validate_dimension(other); // 维度校验
    Matrix result(rows_, cols_);
    
    // AVX指令处理主体数据（每次8个float）