蓝桥杯经典题解：班级活动分组问题的深度解析与优化实现
目录
一、问题背景与描述
二、问题分析与核心思路
2.1 问题本质：统计与配对优化
2.2 关键观察
2.3 数学建模
三、算法设计与实现步骤
3.1 算法步骤
3.2 代码实现（Python）
3.3 优化点分析
四、关键细节与常见误区
4.1 细节处理
4.2 常见误区
六、总结与应用
6.1 解题核心
6.2 实际应用场景
6.3 代码优化建议
一、问题背景与描述
在蓝桥杯的算法竞赛中，分组问题一直是考察逻辑思维与算法设计的经典题型。今天我们将深入探讨一个关于班级活动分组的优化问题：
题目描述
小明的老师需要将班级中的n名同学（n为偶数）分成两人一组。每位同学被随机分配了一个不超过n的ID。老师希望通过修改最少数量的ID，使得最终每个ID恰好出现两次。例如，若初始ID序列为[1,2,2,3]，则只需修改其中一个ID为3或1即可满足条件。
输入格式
- 第一行：正整数n（班级人数）
- 第二行：n个整数a1,a2,…,an（各同学的初始ID）
输出格式
输出需要修改的最少ID数量。
二、问题分析与核心思路
2.1 问题本质：统计与配对优化
该问题的核心在于将所有ID的出现次数调整为偶数，并且每个ID的出现次数恰好为2的倍数（因为每组两人）。因此，我们需要解决以下两个关键点：
- 统计ID的出现次数：统计每个ID出现的次数。
- 最小化修改次数：通过调整某些ID的值，使得所有ID的出现次数均为偶数。
2.2 关键观察
- 奇数次出现的ID需要调整：如果某个ID出现奇数次，则必须修改其中一个实例，使其变为另一个ID，从而将奇数次转化为偶数次。
- 配对原则：每个奇数次的ID需要与其他奇数次的ID配对。例如，若ID1出现3次，ID2出现5次，则可以通过将其中一个ID1改为ID2，或其中一个ID2改为ID1，从而将两者的奇数次转化为偶数次。
2.3 数学建模
假设所有ID的出现次数中，共有m个ID出现奇数次。则：
- 每对奇数次的ID需要一次修改：每两个奇数次的ID可以通过一次修改（将其中一个改为另一个）来消除奇数次的问题。
- 总修改次数为m/2：因为每对奇数次的ID需要一次修改，因此总修改次数为奇数次ID数量的一半。
三、算法设计与实现步骤
3.1 算法步骤
- 统计频率：使用哈希表或数组记录每个ID的出现次数。
- 统计奇数次ID的数量：遍历所有ID的计数，统计出现奇数次的ID数量m。
- 计算最小修改次数：最终结果为m/2。
3.2 代码实现（Python）
def min_changes(n, ids):
from collections import defaultdict
count = defaultdict(int)
for num in ids:
count[num] += 1
odd_count = 0
for v in count.values():
if v % 2 != 0:
odd_count += 1
return odd_count // 2
# 示例输入
n = 4
ids = [1, 2, 2, 3]
print(min_changes(n, ids)) # 输出13.3 优化点分析
- 时间复杂度：O(n)，遍历两次数组即可完成统计。
- 空间复杂度：O(k)，其中k是不同ID的数量，通常远小于n。
四、关键细节与常见误区
4.1 细节处理
- ID范围的限制：题目要求ID为n以内的正整数，但修改后的ID可以是任意值（只要最终满足条件）。因此，无需考虑ID的具体数值，只需关注奇偶性。
- 偶数次的处理：如果某个ID出现偶数次，无需修改，但若其出现次数超过2次（如4次），则需要调整为2次。例如，若ID1出现4次，可以通过修改两个ID1为其他ID，但这一步是否必要？
4.2 常见误区
-
误区1：认为出现次数超过2次的ID需要额外修改。
正确理解：只要次数为偶数即可，无需强制为2次。例如，出现4次的ID可以保留，只需调整其他ID的奇偶性。 -
误区2：试图直接调整到恰好2次。
正确策略：只需保证所有ID的出现次数为偶数，无需严格为2次。例如，若三个ID各出现2次，总人数为6，是合法的。
六、总结与应用
6.1 解题核心
该问题的核心在于：
- 奇偶性分析：通过统计奇数次的ID数量，直接得出最小修改次数。
- 配对思想：每两个奇数次的ID通过一次修改即可消除奇数性。
6.2 实际应用场景
- 资源分配问题：例如将物品分配到偶数个组别。
- 数据清洗：确保数据集中的某些属性满足偶数条件。
6.3 代码优化建议
- 使用数组而非哈希表：若ID范围较小（如≤n），可用数组代替字典，提升性能。
- 空间优化：对于n≤1e5的情况，数组空间仍可接受。
import sys
def main():
n = int(sys.stdin.readline())
a_list = list(map(int, sys.stdin.readline().split()))
dp = [0] * 10 # dp[b] 表示以数字b结尾的最长接龙序列长度
max_len = 0 # 记录最长序列长度
for num in a_list:
b = num % 10 # 获取末位数字
a = num # 获取首位数字
while a >= 10:
a = a // 10 # 循环直到得到首位数字
# 更新dp数组
new_len = dp[a] + 1
if new_len > dp[b]:
dp[b] = new_len
if dp[b] > max_len:
max_len = dp[b]
print(n - max_len)
if __name__ == "__main__":
main()