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PTA 7-16 一元多项式求导

article 2025/3/31 11:59:55

题目描述

设计函数求一元多项式的导数。

输入格式:

以指数递降方式输入多项式非零项系数和指数（绝对值均为不超过1000的整数）。数字间以空格分隔。
注意：零多项式用 0 0 表示。

输出格式:

以与输入相同的格式输出导数多项式非零项的系数和指数。数字间以空格分隔，但结尾不能有多余空格。

输入样例:

3 4 -5 2 6 1 -2 0

输出样例:

12 3 -10 1 6 0

题目分析

现在得解决这个问题，就是设计一个函数来求一元多项式的导数。题目输入是按指数递降的方式给出的，每个非零项的系数和指数，比如输入样例是3 4 -5 2 6 1 -2 0，对应的多项式应该是3x^4 -5x^2 +6x -2。导数的话，应该是各对应项的导数相加。那每一项的导数是系数乘以指数，然后指数减一。比如3x^4的导数是12x^3，-5x^2导数是-10x，6x导数是6，-2的导数是0。所以原输入对应的输出应该是12 3，-10 1，6 0。这些非零项的组合。那问题是如何处理输入，然后处理每一项，生成导数后的项，再输出。

那首先，我得把输入的字符串分割成系数和指数的对。比如输入样例被空格分割后，得到的是一个列表：['3','4','-5','2','6','1','-2','0']。然后每两个为一组，系数是第一个，指数是第二个。所以遍历的时候，步长是2，每次取两个元素。

然后，对每一对进行处理。如果指数是0的话，那么这一项的导数是0，所以应该被忽略。否则，导数后的项的系数是原系数乘以指数，指数减一。比如原项是系数c，指数e，那么导数项是c*e, e-1。这个时候，如果e是0的话，导数是0，所以这种情况下应该不处理。或者，如果原项的指数是0，那么不管系数是多少，导数后的系数都是0，所以这样的项在导数后就不应该出现在输出中。例如，原样例中的-2 0，导数后是0，所以不需要输出。

那么处理每一对的时候，需要先判断指数是否为0。如果指数是0，就跳过。否则，计算新的系数和指数。然后收集这些结果，作为导数后的项。

然后，输出的时候，需要按照指数递降的顺序排列吗？或者原输入是递降的，处理后的导数项的指数可能也是递降的吗？比如原样例的处理后的项是12 3（指数3），-10 1（指数1），6 0（指数0），所以输出的顺序是这三个项。这个时候指数是递减的。但是原输入可能不一定处理后的项的顺序是否递减？比如假设有一个输入项是系数2指数3，系数1指数5，那么原输入的顺序是1 5 2 3，导数后的项是5 4，6 2。这时候导数后的顺序应该是5 4，6 2，也就是指数还是递减的。因为原输入的指数是递降的，所以每项的指数是依次减小的。那导数后的项的指数是原指数减一，所以原输入的指数是递减的话，导数后的项的指数是否是递减的？例如原输入的指数是5、3，导数后的指数是4、2，所以顺序是对的。所以导数后的项的指数顺序应该还是递减的，所以处理后的项不需要重新排序，可以按照原来的顺序处理，只要去掉那些导数为0的项即可。

那这样的话，处理后的各项的顺序可以直接按照原顺序处理后的结果，而不用再排序？

是的。比如，原输入的指数是严格递减的，那么导数后的项的指数也会是严格递减的吗？例如原输入有两个项，比如指数是5和4。导数后的指数是4和3，顺序正确。如果有原输入的指数是5，然后3，那么导数后的指数是4，2，顺序也是正确的。所以只要原输入的指数是递降的，那么处理后的导数项的指数顺序也是正确的，不需要重新排序。所以处理后的结果可以直接按顺序输出。

那这样的话，处理步骤可以是：

1. 将输入字符串分割成列表，每两个为一对，系数和指数。

2. 遍历每一对，对每个项计算导数后的系数和指数。

3. 如果导数后的系数是0（比如原指数是0，或者原系数是0，但原题中输入的系数是非零的？原题输入是非零项的系数和指数。所以原输入中的项的系数都是非零的，所以原系数不会为0。所以导数后的系数是否为零只取决于原指数是否为0。例如原指数为0时，导数后的系数是原系数*0=0，所以必须被排除。而原指数非0的话，导数后的系数是原系数*指数，此时如果原系数和指数的乘积是否为0？原系数非零，指数非零的话，乘积也不为零。所以导数后的项的系数只有当原指数不为0的时候才会非零。所以处理的时候，对于每一对，如果原指数为0，则忽略；否则，计算新的系数和指数，并将结果保存。

4. 收集所有导数后的非零项，然后按照顺序输出。如果结果为空，说明原输入的所有项的指数都是0，或者原输入是零多项式。比如原输入是0 0的情况，这时导数后的结果也是0 0吗？

题目中有一个注意点：零多项式用0 0表示。比如原输入是零多项式的话，导数后的结果也是零多项式，所以输出应该是0 0。例如，如果原输入的系数和指数都是0，那么导数后的系数是0*0=0，指数是-1？或者原输入的0 0是否代表的是零多项式，即没有非零项的情况。此时，导数后的结果也是零多项式，所以输出0 0。

所以需要处理这种情况：

情况一：原输入是零多项式，即输入是0 0。此时导数后的结果也是零多项式，所以输出0 0。

其他情况下，原输入的各个项的指数必须非零吗？比如，输入的项可能包含指数为0的情况，比如输入样例中的-2 0。这个时候，在导数的时候，该项会被处理为-2*0=0，所以导数后的项会被忽略。

那处理过程应该是：

- 将输入分割成列表。

- 检查输入是否是零多项式的情况，即列表是['0', '0']。此时输出应为0 0。

- 否则，遍历每一对系数和指数，处理每一对：

- 系数c = int(list[i])

- 指数e = int(list[i+1])

- 如果e == 0：跳过，因为导数后的系数是0。

- 否则，计算新系数c * e，新指数e-1。如果新系数为0的话，比如当原系数乘以指数等于0？但原输入的系数和指数都是非零的，所以原系数非零，指数非零的话，乘积不可能为零。因此，新系数非零。所以这种情况下，新的项必须保留。

- 收集所有处理后的项，如果收集的结果为空，则说明原输入中的所有项的指数都是0，或者处理后的所有项的系数都为0？比如原输入是多个指数为0的项，如输入是3 0，那么导数后的系数是0，所以不保留。此时结果为空，这时候应该输出0 0吗？

比如，假设输入是3 0，那么原多项式是3，导数后的结果是0。所以此时导数后的多项式是零多项式，应该输出0 0。

因此，在代码中，处理完所有项后，需要判断收集的结果是否为空。如果为空的话，输出0 0。否则，按顺序输出各对系数和指数，用空格分隔，末尾不能有空格。

为了解决这个问题，我们需要设计一个函数来计算一元多项式的导数。输入的多项式以指数递降方式给出，我们需要以相同的格式输出导数多项式的结果。

方法思路

输入处理：首先读取输入并将其转换为整数列表。每个多项式项由系数和指数组成，按指数递降顺序排列。
零多项式处理：检查输入是否是零多项式（即输入为0 0），如果是，直接输出0 0。
导数计算：遍历每一对系数和指数，计算导数项。如果指数为0，则跳过该项（因为其导数为0）。否则，计算新系数和新指数，并保存结果。
结果处理：如果所有导数项的系数都为0，输出0 0。否则，按格式输出结果。

解决代码

# 读取输入并分割成列表
items = list(map(int, input().split()))

# 处理零多项式的情况
if len(items) == 2 and items[0] == 0 and items[1] == 0:
    print("0 0")
else:
    result = []
    # 遍历每一对系数和指数
    for i in range(0, len(items), 2):
        coeff = items[i]
        expon = items[i+1]
        # 指数为0的项导数为0，跳过
        if expon == 0:
            continue
        # 计算导数后的系数和指数
        new_coeff = coeff * expon
        new_expon = expon - 1
        result.append(str(new_coeff))
        result.append(str(new_expon))
    # 处理结果为空的情况（所有项导数都是零）
    if not result:
        print("0 0")
    else:
        print(' '.join(result))

代码解释

输入处理：使用input().split()读取输入并分割成字符串列表，然后转换为整数列表。
零多项式检查：如果输入为0 0，直接输出0 0。
遍历处理每一对系数和指数：
- 使用步长2遍历列表，每次取两个元素（系数和指数）。
- 如果指数为0，跳过该项。
- 计算导数后的系数（原系数乘以指数）和指数（原指数减1），并保存到结果列表。