1.4 无穷小与无穷大
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思维导图：
我的理解：
- 无穷小是微积分中一个重要的概念，它描述了当自变量趋近于某个值时，一个函数相对于另一个函数的增量变得非常小，甚至可以忽略不计。
- 具体来说，如果当自变量x趋近于某个值a时，函数f(x)与函数g(x)之间的差值相对于g(x)趋近于0，则我们称f(x)是关于g(x)的无穷小，通常表示为f(x)=o(g(x))，其中“o”表示“小于等于”。
- 在使用无穷小时要注意，不能将无穷小当作恒等于0来使用，因为无穷小是相对于某个函数而言的，它们可能会在某些条件下相对于其他函数而变得很大，从而导致误解。
- 在实际应用中，我们常常需要使用无穷小的性质进行化简、确定极限值、推导导数等操作。例如，在求解极限时，我们可以利用无穷小的定义将表达式进行化简，然后使用极限的基本性质求解。在求解导数时，我们可以利用无穷小的定义将函数进行近似，然后使用导数的定义求解。
问题：0是不是无穷小：
答案：宋浩说是【狗头】。
我的理解：
- 在微积分中，无穷大是指当自变量趋近于某个值时，函数值趋近于无穷大的情况。如果当自变量x趋近于某个值a时，函数f(x)的绝对值可以任意大，我们称f(x)是关于x趋近于a时的无穷大，通常表示为f(x)→∞或者f(x)→-∞。
- 无穷大可以分为正无穷大和负无穷大。当函数值趋近于正无穷大时，我们称其为正无穷大，表示为f(x)→+∞；当函数值趋近于负无穷大时，我们称其为负无穷大，表示为f(x)→-∞。（小心不要以为无穷大就一定是正数了，选择题目小心）
- 需要注意的是，无穷大不是一个数，而是一种趋势或者趋势的方向，它和实数没有关系。因此，在数学中，我们通常不将无穷大视为数值，而是将其作为一种特殊的符号来表示。
- 无穷大的概念在微积分中有很多应用。例如，在研究函数的渐近线时，无穷大是一个重要的概念。当函数f(x)在x趋近于无穷大时的行为可以用一个直线或者一条曲线来近似描述，我们称这条直线或曲线为函数f(x)的渐近线。
- 另外，在极限的研究中，无穷大也是一个常见的概念。例如，如果一个函数f(x)在x趋近于某个值a时的极限为无穷大，我们可以写成f(x)→∞，这个极限表示函数f(x)在x趋近于a时的增长速度趋于无限大。
- 总之，无穷大是微积分中一个非常重要的概念，它帮助我们描述函数在趋近于某个值时的行为和变化趋势。
总结：
- 无穷大和无穷小是微积分中的重要概念，也是经常被考察的考点。它们的重点、难点和易错点如下：
- 无穷大的定义：当自变量趋近于某个值时，函数值趋近于无穷大。可以分为正无穷大和负无穷大。
- 无穷小的定义：当自变量趋近于某个值时，函数值趋近于零。可以分为正无穷小和负无穷小。
- 无穷大与无穷小的关系：当一个函数f(x)在x趋近于某个值a时，如果f(x)是一个无穷小，那么1/f(x)就是一个无穷大，反之亦然。此外，如果一个函数f(x)在x趋近于某个值a时的极限为无穷大，那么它的倒数1/f(x)在x趋近于a时的极限为零。
- 难点：在计算无穷大和无穷小时，需要对函数的性质和极限进行分析，需要掌握一定的数学工具和技巧。
- 易错点：在计算无穷大和无穷小时，容易出现一些常见的错误，例如将无穷小与零混淆、对无穷大的符号判断错误等等。此外，有些函数的极限存在但不是无穷大或无穷小，需要注意区分。
- 总之，掌握无穷大和无穷小的概念、定义、性质和计算方法是微积分学习中的基础，需要认真理解和掌握。在做题时要注意分析函数的性质和极限，避免常见的错误。
