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微积分——极值定理的证明

article 2024/11/15 5:03:44

1. 提出问题

极值定理(The Extreme Value Theorem)最初是由捷克数学家波尔查诺(Bernard Bolzano(1781年10月5号-1848年11月18号), 他是一位意大利血统的波希米亚数学家、逻辑学家、哲学家、神学家和天主教神父，也以其自由主义观点而闻名)证明，在1830年代，在一部作品<<Function Theory>>(函数论)中首次证明了极值定理，但是直到1930年才发表。Bolzano的证明包括证明闭区间上的连续函数是有界的，然后证明该函数达到最大值和最小值。这两个证明都涉及今天称为 Bolzano-Weierstrass定理(波尔查诺-维尔斯特拉斯定理)的内容。这个定理在Bolzano之后，Weierstrass也于1860年发现，因此以此两人的名字联合命名，而有的书上仅以Weierstrass的名称命名。对Bolzano来说有点不幸的是：他的数学著作多半被他的同时代的人所忽视，他的许多成果等到后来才被重新发现，但此时功劳已被别人抢占或只能与别人分享了。(这其中的主要原因可能是他生于一个当时数学并不发达的国度，也缺乏与国外的交流)。但到底是谁最先发现极值定理的这种特性，没有定论。只是这两人都对极植定理进行了严密的证明。或许，在这之前，数学界就有多人发现了极值定理的这种特点，只是都没有进行严密的证明。

在数学中，特别是在实分析领域，以Bolzano 和 Weierstrass 的名字命名的Bolzano-Weierstrass 定理是有限维欧几里德空间 $\mathbb{R}^{n}$ 中关于收敛的一个基本结论。定理指出，在 $\mathbb{R}^{n}$ 中每一个无限有界序列都有一个收敛子序列(convergent subsequence)。等价公式是 $\mathbb{R}^{n}$ 的一个子集是序列紧致的，当且仅当它是闭集且有界的。这个定理有时候又称为序列紧致性定理(sequential compactness theorem)。

Bolzano-Weierstrass定理虽然以Bolzano和Weierstrass两人的名字命名，但事实上，是由Bolzano首先于1817年在证明中值定理(the intermediate value theorem)的时候作为一个引理(lemma)加以证明的。大约 50 年后，这个结论由于其自身的正确性被认定具有重要意义，并由魏尔斯特拉斯(Weierstrass)再次加以证明。自此以后，它已成为分析的基本定理。

极值定理在很多教材中都是直接给出并引用，并未加以证明，因此，很多人对这个定理似乎有点疑惑。

2. 极值定理的描述

在微积分中，极值定理指出，假如一个实函数f在闭区间[a,b]上有定义且连续，则f在此闭区间上既有最小值又有最大值。即，在闭区间[a,b]上存在一个数c和d ,使得：

对于∀x∈ [a,b] 有 f (c) ≥ f (x) ≥ f (d) 。

此定理比相关的边界定理(boundedness theorem)更为具体,边界定理仅指出了连续函数f在这个闭区间上有界；即，存在实数 m 和 M ,使得：

对于∀x∈ [a,b] 有 M ≥ f(x) ≥ m 。

这并不意味着，m和M就一定是函数f在闭区间[a,b]上的最小值和最大值，极值定理的内容才是这样。

极值定理用于证明罗尔定理(Rolle’s Theorem)。在Karl Weierstrass公式中，该定理指出,从非空紧致空间到实数子集的连续函数达到最大值和最小值。

3. 极值定理的证明

要证明极值定理，首先要证明边界定理(boundedness theorem)。证明极值定理的基本步聚为：

(1) 证明边界证理；

(2) 使用边界定理证明极值定理的上确界。

3.1 证明边界定理

边界定理(boundedness theorem):假如函数f(x)在闭区间[a,b]上有定义且连续，则其在此闭区间上有界，即，存在某个实数N,使得对于每一个x∈[a, b],都有|f(x)|≤ N。

证明：考虑区间[a,b]中的点x构成的集合B，使得f(x)在闭区间[a, x]上有界。我们注意到，a 在B中，因为对于每一个x∈[a, a](仅有一个这样的x)，f(x)的值都是f(a),这个函数值承担了一个边界的角色。

此外，注意到，假如某个 $x_1$ > a 在 B 中, 则所有介于 a 与 $x_1$ 之间的值也一定在B 中。已知 f 在 a点的右侧是连续的，对于ε = 1，我们可以求得一个δ > 0，使得对于所有[a, a + δ ]中的 x，都有| f(x)- f(a)|<1成立。其结果就是，在闭区间[a, a + δ ]上，即B的元素中属于[a, a + δ ] 闭区间上的所有x ,f 都被界定在 f(a)-1和 f(a)+1之间。

从这一点，我们知道，集合B包含某x值的区间和非零长度的区间，在其左端a是封闭的。

注意到，集合B中不会有元素大于b，考虑B的上确界(supremum)(即，大于或等于B中每一个值的最小值)，我们记为s,我们的目标是证明s = b。

给定上述集合B中闭区间的非零长度，我们立即可以推导出，s > a。

则对于s而言，其值剩下一种可能，即位于区间(a,b]。然而，考虑隐含意义，假如s < b 。

根据定义，在x = s点是连续的。由此，对于 ε = 1，我们可以求得一个 δ > 0，使得对于所有[s - δ, s + δ ]中的x，都有| f(x)- f(s)|<1成立。因此，对于所有[s - δ, s + δ ]中的 x, f 都被界定在 f (s)-1和f(s)+1之间。注意，一定存在某个集合B中的 $x_2$ ，满足s – δ < x2 < s 。如果不存在，则s不会是上确界。但是假如 $x_2$ 在B中，所有介于a 和 $x_2$ 之间的点一定也位于B中。因此，f在闭区间[a, $x_2$ ]上有界。

由于[a, x2]和[s - δ, s + δ]重叠，其中f也是有界的，则f在闭区间 [a, s + δ ]上一定有界。这就要求集合B的上确界大于s，与前面的假设等于s相矛盾。

因此，s < b是不可能的。剩下一种情况，即 s = b。要使用s = b成立，我们现在关注f在s点的左侧的连续性，我们知道，对于ε = 1，我们可以求得一个δ > 0，使得对于所有[s - δ, s]中的x，都有| f (x)- f(s)|<1成立。类似于我们前面的参数，这意味着f在区间[s - δ, s]上有界。则一定存在某个位于B 中的 $x_3$ ，满足 $x_3>\frac{\delta}{2}$ 。如若不然，则 s 不会是 B 的上确界。