当前位置: 首页 > article >正文

【考研数学】数学“背诵”手册 | 需要记忆且容易遗忘的知识点

文章目录

  • 引言
  • 一、高数
    • 常见泰勒展开
    • n n n 阶导数公式
    • 多元微分函数连续、可微、连续可偏导之间的关系
    • 多元函数极值
      • 无条件极值
      • 条件极值
    • 三角函数的积分性质
      • 华里士公式( “点火”公式 )
      • 特殊性质
    • 原函数与被积函数的奇偶性结论
    • 球坐标变换公式
  • 二、线代
    • 施密特正交化
    • 分块矩阵
    • 转置、逆、伴随之间的运算
    • 关于秩
      • 定义
      • 性质
  • 三、概统
    • 常见分布的期望及方差


引言

复习到后期,去做到前面内容的题目时,有一些需要记忆的结论就比较模糊,比如微分方程的特解形式、施密特正交、各种分布的概率密度等等。我便把这些模糊的点都记录下来了,整理在一起,方便随时查阅


一、高数

常见泰勒展开

基本形式: f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( x 0 ) n ! ( x − x 0 ) n . f(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n. f(x)=n=0n!f(n)(x0)(xx0)n. 常见展开式: e x = x n n ! = 1 + x + 1 2 x 2 + ⋯ + 1 n ! x n + ⋯   , − ∞ < x < + ∞ . \pmb{e^x}= \frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{1}{2}x^2+\cdots+\frac{1}{n!}x^n+\cdots,-\infty<x<+\infty. ex=n!xn=1+x+21x2++n!1xn+,<x<+∞. ln ⁡ ( 1 + x ) = x − 1 2 x 2 + 1 3 x 3 + ⋯ + ( − 1 ) n − 1 x n n + ⋯   , − 1 < x ≤ 1. \ln(1+x)=x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+\cdots,-1<x\leq1. ln(1+x)=x21x2+31x3++(1)n1nxn+,1<x1. sin ⁡ x = x − 1 3 ! x 3 + 1 5 ! x 5 + ⋯ + ( − 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! + ⋯   , − ∞ < x < + ∞ . \pmb{\sin x}=x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5+\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+\cdots,-\infty<x<+\infty. sinx=x3!1x3+5!1x5++(1)n(2n+1)!x2n+1+,<x<+∞. cos ⁡ x = 1 − 1 2 ! x 2 + 1 4 ! x 4 + ⋯ + ( − 1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! + ⋯   , − ∞ < x < + ∞ . \cos x=1-\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{4!}x^4+\cdots+(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}+\cdots,-\infty<x<+\infty. cosx=12!1x2+4!1x4++(1)n(2n)!x2n+,<x<+∞. 1 1 + x = 1 − x + x 2 + ⋯ + ( − 1 ) n x n + ⋯   , − 1 < x < 1. \frac{1}{1+x}=1-x+x^2+\cdots+(-1)^nx^n+\cdots,-1<x<1. 1+x1=1x+x2++(1)nxn+,1<x<1. 1 1 − x = 1 + x + x 2 + ⋯ + x n + ⋯   , − 1 < x < 1. \pmb{\frac{1}{1-x}}=1+x+x^2+\cdots+x^n+\cdots,-1<x<1. 1x1=1+x+x2++xn+,1<x<1.

n n n 阶导数公式

分数 1 / ( a x + b ) 1/(ax+b) 1/(ax+b) n n n 阶导数: ( 1 a x + b ) ( n ) = ( − 1 ) n a n n ! ( a x + b ) n + 1 \big(\frac{1}{ax+b}\big)^{(n)}=(-1)^n\frac{a^nn!}{(ax+b)^{n+1}} (ax+b1)(n)=(1)n(ax+b)n+1ann! ( sin ⁡ x ) ( n ) = sin ⁡ ( x + n π 2 ) , ( cos ⁡ x ) ( n ) = cos ⁡ ( x + n π 2 ) (\sin{x})^{(n)}=\sin{(x+\frac{n\pi}{2})},(\cos{x})^{(n)}=\cos{(x+\frac{n\pi}{2})} (sinx)(n)=sin(x+2),(cosx)(n)=cos(x+2)

多元微分函数连续、可微、连续可偏导之间的关系

在这里插入图片描述

多元函数极值

无条件极值

在这里插入图片描述

条件极值

在这里插入图片描述

三角函数的积分性质

华里士公式( “点火”公式 )

首先是在区间 [ 0 , π / 2 ] [0,\pi/2] [0,π/2] sin ⁡ , cos ⁡ \sin,\cos sin,cos 可以互换,即 ∫ 0 π / 2 f ( sin ⁡ x ) d x = ∫ 0 π / 2 f ( cos ⁡ x ) d x \int_0^{\pi/2}f(\sin x)dx=\int_0^{\pi/2}f(\cos x)dx 0π/2f(sinx)dx=0π/2f(cosx)dx 特别地,有华里士公式(点火公式): I n = ∫ 0 π / 2 ( sin ⁡ x ) n d x = ∫ 0 π / 2 ( cos ⁡ x ) n d x = n − 1 n I n − 2 , I 0 = π 2 , I 1 = 1. I_n=\int_0^{\pi/2}(\sin x)^ndx=\int_0^{\pi/2}(\cos x)^ndx=\frac{n-1}{n}I_{n-2},I_0=\frac{\pi}{2},I_1=1. In=0π/2(sinx)ndx=0π/2(cosx)ndx=nn1In2,I0=2π,I1=1. 可以推广到更大的区间,在 [ 0 , π ] [0,\pi] [0,π] 上,由于 sin ⁡ x \sin x sinx 均为正,因此直接点火,乘个 2 就行。 ∫ 0 π ( sin ⁡ x ) n d x = 2 ∫ 0 π / 2 ( sin ⁡ x ) n d x . \int_0^{\pi}(\sin x)^ndx=2\int_0^{\pi/2}(\sin x)^ndx. 0π(sinx)ndx=20π/2(sinx)ndx. cos ⁡ x \cos x cosx 由于一半区间为负,因此奇数次和偶数次,奇数次为 0 (可以记忆为奇函数对称为 0 ),偶数次同样是乘 2 。 ∫ 0 π ( cos ⁡ x ) n d x = 2 ∫ 0 π / 2 ( cos ⁡ x ) n d x \int_0^{\pi}(\cos x)^ndx=2\int_0^{\pi/2}(\cos x)^ndx 0π(cosx)ndx=20π/2(cosx)ndx 对于在区间 [ 0 , 2 π ] [0,2\pi] [0,2π] 上, sin ⁡ , cos ⁡ \sin,\cos sin,cos 均有正有负,因此奇数次为 0 ,偶数次乘一个 4 。 ∫ 0 2 π ( sin ⁡ x ) n d x = ∫ 0 2 π ( cos ⁡ x ) n d x = 4 ∫ 0 π / 2 ( sin ⁡ x ) n d x . \int_0^{2\pi}(\sin x)^ndx=\int_0^{2\pi}(\cos x)^ndx=4\int_0^{\pi/2}(\sin x)^ndx. 02π(sinx)ndx=02π(cosx)ndx=40π/2(sinx)ndx.

特殊性质

[ 0 , π ] [0,\pi] [0,π] 上可以降到 [ 0 , π / 2 ] [0,\pi/2] [0,π/2] 上;证明方法为拆区间,令 t = x − π / 2 t=x-\pi/2 t=xπ/2 ,把后半部分换掉。 ∫ 0 π f ( sin ⁡ x ) d x = 2 ∫ 0 π / 2 f ( sin ⁡ x ) d x , t h e n   w e   h a v e , ∫ 0 π / 2 f ( sin ⁡ x ) d x = ∫ π / 2 π f ( sin ⁡ x ) d x . \int_0^{\pi}f(\sin x)dx=2\int_0^{\pi/2}f(\sin x)dx,then\space we \space have,\int_0^{\pi/2}f(\sin x)dx=\int_{\pi/2}^{\pi}f(\sin x)dx. 0πf(sinx)dx=20π/2f(sinx)dx,then we have,0π/2f(sinx)dx=π/2πf(sinx)dx. 多一个 x x x 可以提到积分外面来,即 ∫ 0 π x f ( sin ⁡ x ) d x = π 2 ∫ 0 π f ( sin ⁡ x ) d x = π ∫ 0 π / 2 f ( sin ⁡ x ) d x . \int_0^{\pi}xf(\sin x)dx=\frac{\pi}{2}\int_0^{\pi}f(\sin x)dx=\pi\int_0^{\pi/2}f(\sin x)dx. 0πxf(sinx)dx=2π0πf(sinx)dx=π0π/2f(sinx)dx. 证明方法为令 t = x − π t=x-\pi t=xπ

原函数与被积函数的奇偶性结论

  • f ( x ) f(x) f(x) 为奇函数可推出 ∫ a x f ( t ) d t \int_a^x f(t)dt axf(t)dt 为偶函数。
  • f ( x ) f(x) f(x) 为偶函数,不能得到 ∫ a x f ( t ) d t \int_a^x f(t)dt axf(t)dt 为奇函数,但可以得到 ∫ 0 x f ( t ) d t \int_0^x f(t)dt 0xf(t)dt 为奇函数。
  • ∫ a x f ( x ) d x \int_a^x f(x)dx axf(x)dx 为奇/偶函数,一定可以推得 f ( x ) f(x) f(x) 为相反的奇偶性。
  • ∫ a x f ( x ) d x \int_a^x f(x)dx axf(x)dx 为周期函数,一定可以推得 f ( x ) f(x) f(x) 也为周期函数,反之不一定。

球坐标变换公式

r r r 表示几何体上一点到原点距离,从原点引一条射线看范围; θ \theta θ 表示 r r r x O y xOy xOy 平面的投影直线与 x x x 轴正向的夹角,范围是 [ 0 , 2 π ] [0,2\pi] [0,2π] φ \varphi φ 表示和 z z z 轴正向夹角,范围是 [ 0 , π ] [0,\pi] [0,π] ,想象喇叭开花。

变换公式为 { x = r cos ⁡ θ sin ⁡ φ y = r sin ⁡ θ sin ⁡ φ z = r cos ⁡ φ , d x d y d z = r 2 sin ⁡ φ   d r d θ d φ . \begin{cases} x=r\cos\theta \sin\varphi\\ y=r\sin \theta \sin\varphi \\ z=r\cos\varphi\end{cases},dxdydz=r^2\sin\varphi \space drd\theta d\varphi. x=rcosθsinφy=rsinθsinφz=rcosφ,dxdydz=r2sinφ drdθdφ.


二、线代

施密特正交化

把一组线性无关的向量组转化为一组两两正交且规范的向量组的过程,称为施密特正交化。

α 1 , α 2 , ⋯   , α n \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n} α1,α2,,αn 线性无关,其正交化过程为:

(1)正交化 l e t   β 1 = α 1 , β 2 = α 2 − ( α 2 , β 1 ) ( β 1 , β 1 ) β 1 β n = α n − ( α n , β 1 ) ( β 1 , β 1 ) β 1 − ( α n , β 2 ) ( β 2 , β 2 ) β 2 − ⋯ − ( α n , β n − 1 ) ( β n − 1 , β n − 1 ) β n − 1 let\space \pmb{\beta_1=\alpha_1,\beta_2=\alpha_2-\frac{(\alpha_2,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1}\\ \pmb{\beta_n=\alpha_n-\frac{(\alpha_n,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1-\frac{(\alpha_n,\beta_2)}{(\beta_2,\beta_2)}\beta_2}-\cdots-\pmb{\frac{(\alpha_n,\beta_{n-1})}{(\beta_{n-1},\beta_{n-1})}\beta_{n-1}} let β1=α1,β2=α2(β1,β1)(α2,β1)β1βn=αn(β1,β1)(αn,β1)β1(β2,β2)(αn,β2)β2(βn1,βn1)(αn,βn1)βn1 则向量组 β 1 , β 2 , ⋯   , β n \pmb{\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n} β1,β2,,βn 两两正交。
(2)规范化。各自除以各自的模即可。

分块矩阵

首先是行列式,有以下三个结论:

(1) ∣ A 1 A 2 ⋱ A n ∣ = ∣ A 1 ∣ ⋅ ∣ A 2 ∣ ⋯ ∣ A n ∣ . \begin{vmatrix} \pmb{A_1} & & & \\ & \pmb{A_2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & \pmb{A_n}\end{vmatrix}=|\pmb{A_1}|\cdot|\pmb{A_2}|\cdots|\pmb{A_n}|. A1A2An =A1A2An∣.

(2) ∣ A C O B ∣ = ∣ A O O B ∣ = ∣ A ∣ ⋅ ∣ B ∣ . \begin{vmatrix} \pmb{A} & \pmb{C}\\ \pmb{O}& \pmb{B} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \pmb{A} & \pmb{O}\\ \pmb{O}& \pmb{B} \end{vmatrix}=|\pmb{A}|\cdot|\pmb{B}|. AOCB = AOOB =AB∣.

(3)设 A , B \pmb{A,B} A,B 分别为 m , n m,n m,n 阶方阵,则有 ∣ O A B O ∣ = ( − 1 ) m n ∣ A ∣ ⋅ ∣ B ∣ . \begin{vmatrix} \pmb{O} & \pmb{A}\\ \pmb{B}& \pmb{O} \end{vmatrix}=(-1)^{mn}|\pmb{A}|\cdot|\pmb{B}|. OBAO =(1)mnAB∣.

然后是转置的结论: [ A B C D ] T = [ A T C T B T D T ] . \begin{bmatrix} \pmb{A} & \pmb{B}\\ \pmb{C}& \pmb{D} \end{bmatrix}^T=\begin{bmatrix} \pmb{A^T} & \pmb{C^T}\\ \pmb{B^T}& \pmb{D^T} \end{bmatrix}. [ACBD]T=[ATBTCTDT].

接着是逆矩阵的结论: [ A O O B ] − 1 = [ A − 1 O O B − 1 ] , [ O A B O ] − 1 = [ O B − 1 A − 1 O ] . \begin{bmatrix} \pmb{A} & \pmb{O}\\ \pmb{O}& \pmb{B} \end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix} \pmb{A^{-1}} & \pmb{O}\\ \pmb{O}& \pmb{B^{-1}} \end{bmatrix},\begin{bmatrix} \pmb{O} & \pmb{A}\\ \pmb{B}& \pmb{O} \end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix} \pmb{O} & \pmb{B^{-1}}\\ \pmb{A^{-1}}& \pmb{O} \end{bmatrix}. [AOOB]1=[A1OOB1],[OBAO]1=[OA1B1O].

转置、逆、伴随之间的运算

对可逆矩阵,转置、逆和伴随可以随意交换顺序,即 ( A − 1 ) T = ( A T ) − 1 , ( A ∗ ) − 1 = ( A − 1 ) ∗ , ( A ∗ ) T = ( A T ) ∗ . (\pmb{A}^{-1})^T=(\pmb{A}^{T})^{-1},(\pmb{A}^{*})^{-1}=(\pmb{A}^{-1})^{*},(\pmb{A}^{*})^T=(\pmb{A}^{T})^*. (A1)T=(AT)1,(A)1=(A1),(A)T=(AT).

关于秩

定义

矩阵的秩的定义:

A \pmb{A} A m × n m\times n m×n 矩阵,从中任取 r r r r r r 列,元素按照原有次序构成的 r r r 阶行列式,称为矩阵 A \pmb{A} A r r r 阶子式。若 矩阵 A \pmb{A} A 中至少有一个 r r r 阶子式不为零,但所有 r + 1 r+1 r+1 阶子式(可能没有)均为零,称 r r r 为矩阵 A \pmb{A} A 的秩。

向量组秩的定义:

α 1 , α 2 , ⋯   , α n \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n} α1,α2,,αn 为一组向量,若其存在 r r r 个向量线性无关,且任意 r + 1 r+1 r+1 个向量(不一定有)一定线性相关,称这 r r r 个线性无关的向量构成的向量组为 α 1 , α 2 , ⋯   , α n \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n} α1,α2,,αn 的极大线性无关组,极大线性无关组所含向量的个数,称为向量组的秩。

性质

矩阵的秩有如下性质: r ( A ) = r ( A T ) = r ( A A T ) = r ( A T A ) . [ r ( A ) + r ( B ) − n ] ≤ r ( A + B ) ≤ r ( A ) + r ( B ) . r ( A B ) ≤ min ⁡ { r ( A ) , r ( B ) } . i f   A B = O , t h e n   , r ( A ) + r ( B ) ≤ n . i f   ∣ P ∣ , ∣ Q ∣ ≠ 0 , r ( A ) = r ( P A ) = r ( A Q ) = r ( P A Q ) . r ( A ∗ ) = { n r ( A ) = n 1 r ( A ) = n − 1 0 r ( A ) < n − 1 , ( n ≥ 2 ) . l e t   A m × n , B m × s , t h e n , max ⁡ { r ( A ) , r ( A ) } ≤ r ( A   ⋮   B ) ≤ r ( A ) + r ( B ) . α , β ≠ 0 , r ( A ) = 1 ⟺ A = α β T . r ( A O O B ) = r ( A ) + r ( A ) . r(\pmb{A})=r(\pmb{A}^T)=r(\pmb{A}\pmb{A}^T)=r(\pmb{A}^T\pmb{A}).\\ [r(\pmb{A})+r(\pmb{B})-n]\leq r(\pmb{A}+\pmb{B})\leq r(\pmb{A})+r(\pmb{B}). \\ r(\pmb{AB})\leq \min\{r(\pmb{A}),r(\pmb{B})\}. \\ if\space \pmb{AB=O},then\space ,r(\pmb{A})+r(\pmb{B})\leq n. \\ if\space |\pmb{P}|,|\pmb{Q}|\ne0,r(\pmb{A})=r(\pmb{PA})=r(\pmb{AQ})=r(\pmb{PAQ}).\\ r(\pmb{A}^*)=\begin{cases} n&r(\pmb{A})=n\\ 1&r(\pmb{A})=n-1\\ 0&r(\pmb{A})<n-1 \end{cases},(n\geq2).\\ let\space \pmb{A}_{m\times n},\pmb{B}_{m\times s},then,\max\{r(\pmb{A}),r(\pmb{A})\}\leq r(\pmb{A}\space\vdots \space B)\leq r(\pmb{A})+r(\pmb{B}). \\ \pmb{\alpha,\beta\ne 0},r(\pmb{A})=1 \pmb{\Longleftrightarrow} \pmb{A}=\pmb{\alpha\beta}^T.\\ r\begin{pmatrix} \pmb{A} & \pmb{O} \\ \pmb{O}& \pmb{B}\end{pmatrix}=r(\pmb{A})+r(\pmb{A}). r(A)=r(AT)=r(AAT)=r(ATA).[r(A)+r(B)n]r(A+B)r(A)+r(B).r(AB)min{r(A),r(B)}.if AB=O,then ,r(A)+r(B)n.if P,Q=0,r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ).r(A)= n10r(A)=nr(A)=n1r(A)<n1,(n2).let Am×n,Bm×s,then,max{r(A),r(A)}r(A  B)r(A)+r(B).α,β=0,r(A)=1A=αβT.r(AOOB)=r(A)+r(A).


三、概统

常见分布的期望及方差

{ 分布 ‾ 分布律或概率密度 ‾ 数学期望 ‾ 方差 ‾ ( 0 − 1 )分布 P { X = k } = p k ( 1 − p ) 1 − k , k = 0 , 1 p p ( 1 − p ) 二项分布 P { X = k } = C n k p k ( 1 − p ) n − k , k = 0 ⋯ n n p n p ( 1 − p ) 泊松分布 P { X = k } = λ k k ! e − λ , k = 0 , 1 , 2 , ⋯ λ λ 正态分布 f ( x ) = 1 2 π σ E X P ( − ( x − μ ) 2 2 σ 2 ) μ σ 2 几何分布 P { X = k } = ( 1 − p ) k − 1 p , k = 1 , 2 , ⋯ 1 / p ( 1 − p ) / p 2 \begin{cases}\underline{分布}&\underline{分布律或概率密度}&\underline{数学期望}&\underline{方差}\\ (0-1)分布&P\{X=k\}=p^k(1-p)^{1-k},k=0,1&p&p(1-p)\\ 二项分布& P\{X=k\}=C_n^kp^k(1-p)^{n-k},k=0\cdots n&np&np(1-p)\\ 泊松分布&P\{X=k\}=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda},k=0,1,2,\cdots&\lambda&\lambda \\ 正态分布 & f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}E XP(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2})&\mu&\sigma^2\\ 几何分布&P\{X=k\}=(1-p)^{k-1}p,k=1,2,\cdots&1/p&(1-p)/p^2\end{cases} 分布01)分布二项分布泊松分布正态分布几何分布分布律或概率密度P{X=k}=pk(1p)1k,k=0,1P{X=k}=Cnkpk(1p)nk,k=0nP{X=k}=k!λkeλ,k=0,1,2,f(x)=2π σ1EXP(2σ2(xμ)2)P{X=k}=(1p)k1p,k=1,2,数学期望pnpλμ1/p方差p(1p)np(1p)λσ2(1p)/p2 均匀分布: f ( x ) = { 1 / ( b − a ) , a < x < b 0 , e l s e , E ( X ) = a + b 2 , D ( X ) = ( b − a ) 2 12 . f(x)=\begin{cases} 1/(b-a),&a<x<b \\ 0,&else \end{cases},E(X)=\frac{a+b}{2},D(X)=\frac{(b-a)^2}{12}. f(x)={1/(ba),0,a<x<belse,E(X)=2a+b,D(X)=12(ba)2. 指数分布: f ( x ) = { λ e − λ x , x > 0 0 , e l s e , E ( X ) = 1 λ , D ( X ) = 1 λ 2 . f(x)=\begin{cases} \lambda e^{-\lambda x},&x>0 \\ 0,&else \end{cases},E(X)=\frac{1}{\lambda},D(X)=\frac{1}{\lambda^2}. f(x)={λeλx,0,x>0else,E(X)=λ1,D(X)=λ21.



http://www.kler.cn/a/107797.html

相关文章:

  • 深入探索:Scrapy深度爬取策略与实践
  • 一键生成本地SSL证书:打造HTTPS安全环境
  • ARM架构中断与异常向量表机制解析
  • 飞牛云fnOS本地部署WordPress个人网站并一键发布公网远程访问
  • 设计模式之装饰器模式(SSO单点登录功能扩展,增加拦截用户访问方法范围场景)
  • elementui el-table中给表头 el-table-column 加一个鼠标移入提示说明
  • 软考系列(系统架构师)- 2009年系统架构师软考案例分析考点
  • 【JAVA学习笔记】50 - Math类,Array类,System类,BigInteger和BigDecimal类
  • IO流框架,缓冲流
  • 【Codeforces】 CF79D Password
  • CompletableFuture 实战
  • 公网远程访问macOS本地web服务器
  • 23种设计模式(10)——门面模式
  • css:如何通过不同的值,改变盒子的样式和字体颜色通过computed而不是v-if
  • Operator开发之operator-sdk入门
  • XMLHttpRequest拦截请求和响应
  • Unity性能优化一本通
  • YOLOv5 onnx \tensorrt 推理
  • uniapp接口请求api封装,规范化调用
  • Go 实现插入排序算法及优化
  • 软考系列(系统架构师)- 2013年系统架构师软考案例分析考点
  • 5月22日比特币披萨日,今天你吃披萨了吗?
  • 【计算机网络】认识协议
  • Spring Boot拓展XML格式的请求和响应
  • 『Jmeter入门万字长文』 | 从环境搭建、脚本设计、执行步骤到生成监控报告完整过程
  • leetCode 229. 多数元素 II + 摩尔投票法 + 进阶 + 优化空间