【算法】石子合并（区间dp）

题目

设有 N 堆石子排成一排，其编号为 1,2,3,…,N。

每堆石子有一定的质量，可以用一个整数来描述，现在要将这 N 堆石子合并成为一堆。

每次只能合并相邻的两堆，合并的代价为这两堆石子的质量之和，合并后与这两堆石子相邻的石子将和新堆相邻，合并时由于选择的顺序不同，合并的总代价也不相同。

例如有 4 堆石子分别为 1 3 5 2， 我们可以先合并 1、2 堆，代价为 4，得到 4 5 2， 又合并 1、2 堆，代价为 9，得到 9 2 ，再合并得到 11，总代价为 4+9+11=24；

如果第二步是先合并 2、3 堆，则代价为 7，得到 4 7，最后一次合并代价为 11，总代价为 4+7+11=22。

问题是：找出一种合理的方法，使总的代价最小，输出最小代价。

输入格式

第一行一个数 N 表示石子的堆数 N。

第二行 N 个数，表示每堆石子的质量(均不超过 1000)。

输出格式

输出一个整数，表示最小代价。

数据范围

1 ≤ N  ≤ 300

思路

我们得到 n 堆石子，将石子两两合并。

最外层循环：

        合并长度为len的区间（从len = 2开始）

中间循环：

        求出 L 与 R的值（长度为len的集合的左右边界）

最内层循环：

        求出f [ l ] [  r ] 的最小值（f [ i ][ j ]中储存 i 到 j 区间合并的最小值）

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 310;
int n;
int s[N];// 前i堆石子的前缀和
int f[N][N];// 表示i到j这个区间合并的最小花费

int main()
{
    cin >> n;
    for(int i = 1; i <= n; i ++) cin >> s[i];// 输入每堆石子的个数
    for(int i = 1; i <= n; i ++) s[i] += s[i - 1];// 求出前i堆石子的前缀和
    
    for(int len = 2; len <= n; len ++)// 合并长度为len的区间
        for(int i = 1; i + len - 1 <= n; i ++)// 求出所有长度为len集合合并的最小代价
        {
            int l = i,r = i + len - 1;// l，r分别为左右边界
            f[l][r] = 0x3f3f3f3f;// 给f[l][r]赋初始值
            for(int k = l; k < r; k ++)// k表示靠近l的区间的长度（求f[l][r]这个区间合并的最少花费）
                f[l][r] = min(f[l][r],f[l][k] + f[k + 1][r] + s[r] - s[l - 1]);
        }
    cout << f[1][n] << endl;
    return 0;
}