逆矩阵相关性质与例题

1.方阵的行列式：就是将方阵中的每一个元素转换至行列式中。

        1.性质一：转置方阵的行列式等于转置前的行列式。（对标性质：行列式与它的转置行列式相等）

        2.性质二：|ka|=|a|*k的n次方，n为方阵阶数。

2.伴随矩阵（只有方阵有）：计算矩阵的每一个元素的代数余子式，注意-1乘行标加列标，然后每一行的代数余子式按列排放构成矩阵（按行求按列放）（矩阵A的伴随矩阵为A*）

        1.AA*=A*A=|A|E（对标性质：某行乘本行代数余子式为行列式的值，乘其他行的等于0）

单位矩阵：主对角线元素都为1其余都为0的方阵

        2.任给方阵都有伴随矩阵

        3.|A*A|=|A|*|A*|=|A|的n次方（n为阶数），也可写作|A*|=|A|的n-1次方，为左右两边约去A的行列式，一般不能除以行列式，但此处例外

        证明过程：

3.逆矩阵：n阶方阵A，存在n阶方阵B使得AB=BA=E，则B为A的逆矩阵，逆矩阵的表示为A的-1次方

        1.不是所有的方阵都可逆，比如0矩阵

        2.方阵的逆矩阵是为一的，证明过程：

        3.A可逆，A的逆矩阵可逆且它的逆矩阵为A(证明用定义然后代换)

        4.如果要验证逆矩阵，需要将两个矩阵相乘=E然后配凑

        5.A，B都可逆，则AB可逆，且AB的逆矩阵为B的逆矩阵乘A的逆矩阵，注意顺序，证明时写定义式并消去B*B的逆矩阵，当多个矩阵相乘也可以用（类似AB的转置等于B的转置乘A的转置）

        6.A可逆其转置也可逆，且A转置的逆等于A逆的转置（转置与逆可以交换顺序）

        7.k不等于0，那么kA的逆矩阵等于k分之一乘A的逆矩阵

        8，A可逆，A逆的行列式等于A的行列式分之一

        9.A可逆，A*可逆，等于A的行列式分之一乘A

4.方阵可逆的条件：行列式不等于0，求法为A的行列式分之一乘A的伴随矩阵，同理A的伴随矩阵等于A的行列式乘A的逆矩阵，运用此求法去代替逆矩阵进行运算时注意A不能为0矩阵

5.做题时只需使用AB=E即可证明A可逆且A的逆矩阵为B

6.在方程中消去一个矩阵可以同时左乘或者右乘它的逆矩阵出现E直接消去

7.求逆矩阵有初等变换法以及伴随矩阵法，首选前者

8.经典例题1

9.经典例题2

例题2总结：

        1.提的时候要注意方向

        2.矩阵不能同除

        3.任何矩阵与数运算都要乘E

        4.写任何逆矩阵时都要先证明矩阵可逆

10.经典例题3