leetCode 51.皇后 + 回溯算法 + 图解 + 笔记

按照国际象棋的规则，皇后可以攻击与之处在同一行或同一列或同一斜线上的棋子。n 皇后问题 研究的是如何将 n 个皇后放置在 n×n 的棋盘上，并且使皇后彼此之间不能相互攻击。给你一个整数 n ，返回所有不同的 n 皇后问题 的解决方案。每一种解法包含一个不同的 n 皇后问题 的棋子放置方案，该方案中 'Q' 和 '.' 分别代表了皇后和空位

示例 1：

输入：n = 4
输出：[[".Q..","...Q","Q...","..Q."],["..Q.","Q...","...Q",".Q.."]]
解释：如上图所示，4 皇后问题存在两个不同的解法。

 示例 2：

输入：n = 1
输出：[["Q"]]

1. 不能同行
2. 不能同列
3. 不能同斜线

•  先检查将要摆放的位置是否满足这三个条件，如果满足则在这个位置放Q

bool isValid(int x,int y,vector<string>& chessboard,int n) {
    // 检查当前列是否有皇后
    for (int i = 0; i < x; i++) { // 这是一个剪枝
        if (chessboard[i][y] == 'Q') return false;
    }
    // 检查 45（左上角） 度角是否有皇后
    for(int i=x-1,j=y-1;i>=0 && j>=0;i--,j--) {
        if (chessboard[i][j] == 'Q') return false;
    }
    // 检查 135（右上角） 度角是否有皇后
    for(int i=x-1,j=y+1;i>=0 && j<n;i--,j++) {
        if (chessboard[i][j] == 'Q') return false;
    }
    return true;
}

// n 为输入的棋盘大小；x 是当前递归到棋盘的第几行了
void backtracking(int n, int x, vector<string>& chessboard) {
    ......
    for(int y=0;y<n;y++) {
        if(isValid(x, y, chessboard, n)==false) continue;
        chessboard[x][y] = 'Q'; // 放置皇后
        backtracking(n, x + 1, chessboard);
        chessboard[x][y] = '.'; // 回溯，撤销皇后
    }
}

• 如果搜到了树的叶子节点， 表明找到了皇后们的合理位置了  

if(x == n) {
    result.push_back(chessboard);
    return;
}

 C++代码：

class Solution {
public:
    vector<vector<string>> result;
    bool isValid(int x,int y,vector<string>& chessboard,int n) {
        // 检查当前列是否有皇后
        for (int i = 0; i < x; i++) { // 这是一个剪枝
            if (chessboard[i][y] == 'Q') return false;
        }
        // 检查 45（左上角） 度角是否有皇后
        for(int i=x-1,j=y-1;i>=0 && j>=0;i--,j--) {
            if (chessboard[i][j] == 'Q') return false;
        }
        // 检查 135（右上角） 度角是否有皇后
        for(int i=x-1,j=y+1;i>=0 && j<n;i--,j++) {
            if (chessboard[i][j] == 'Q') return false;
        }
        return true;
    }
    
    // n 为输入的棋盘大小；x 是当前递归到棋盘的第几行了
    void backtracking(int n, int x, vector<string>& chessboard) {
        if(x == n) {
            result.push_back(chessboard);
            return;
        }
        for(int y=0;y<n;y++) {
            if(isValid(x, y, chessboard, n)==false) continue;
            chessboard[x][y] = 'Q'; // 放置皇后
            backtracking(n, x + 1, chessboard);
            chessboard[x][y] = '.'; // 回溯，撤销皇后
        }
    }
    vector<vector<string>> solveNQueens(int n) {
        vector<string> chessboard(n,string(n,'.'));
        backtracking(n,0,chessboard);
        return result;
    }
};

• 时间复杂度: O(n!)
• 空间复杂度: O(n)

参考和推荐文章、视频：

代码随想录 (programmercarl.com)https://www.programmercarl.com/0051.N%E7%9A%87%E5%90%8E.html#%E6%80%9D%E8%B7%AF这就是传说中的N皇后？ 回溯算法安排！| LeetCode：51.N皇后_哔哩哔哩_bilibilihttps://www.bilibili.com/video/BV1Rd4y1c7Bq/?spm_id_from=333.788&vd_source=a934d7fc6f47698a29dac90a922ba5a3回溯算法基本框架：

void backtracking(参数) {
    if (终止条件) {
        存放结果;
        return;
    }
    for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {
        处理节点;
        backtracking(路径，选择列表); // 递归
        回溯，撤销处理结果
    }
}