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特征向量中心度（Eigenvector Centrality）

article 2024/9/22 16:42:09

概念

回顾度中心度，我们通常认为，顶点的连接数越多，顶点越重要。但是在现实中，我们不能保证拥有很多的朋友这个人就是重要的，拥有更多重要的朋友往往才是更重要的衡量标准。

换句话说，就是认识很多“边缘”人物，没有认识较少的“中心”人物更重要。

特征向量中心度是第一个考虑顶点在图中作为传递桥梁的重要性，而不是只考虑顶点的直接重要性的中心度度量。

公式

记特征向量中心度为 $C_e(vi)$ ，则有公式：

$C_e(v_i) =\frac{1}{\lambda} \displaystyle \sum^{n}_{j=1}\mathbf{A}_{j,i}C_e(v_j)$

其中 $\lambda$ 是一个常量。假设 $C_e=(C_e(v_1),C_e(v_2),…,C_e(v_n))^T$ 是所有顶点的中心向量，则上式可以重写为：

$\lambda C_e=\mathbf{A}^TC_e$

其中 $C_e$ 是邻接矩阵 $A^T$ (或 $A$ ，无向图中 $A=A^T$ )的特征向量， $\lambda$ 是对应的特征值。求出的特征向量每一个元素对应一个特征向量中心度。

但是我们知道一个矩阵可以有多个特征值，对应多个特征向量，那么应该选择哪个特征值？为方便比较，中心度一般是大于0的值，因此选取的特征值对应的特征向量应该均大于0。根据佩龙-弗罗宾尼斯定理（Perron-Frobenius Theorem），如果我们选取矩阵 $A$ 的最大特征值，那么其对应的特征向量就均为正值。