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第十四届蓝桥杯第三期模拟赛 【python】

第十四届蓝桥杯第三期模拟赛 【python】

文章目录

  • 第十四届蓝桥杯第三期模拟赛 【python】
    • ✨最小的十六进制(python的16进制)
      • ❓️问题描述
      • 答案提交
      • 🧠思路
      • 🖥︎参考答案
    • ✨Excel的列(进制转化)
      • ❓️问题描述
      • 答案提交
      • 🧠思路
      • 🖥︎参考答案
    • ✨相等日期(datetime日期)
      • ❓️问题描述
      • 答案提交
      • 🧠思路
      • 🖥︎参考答案
    • ✨多少种取法(简单模拟)
      • ❓️问题描述
      • 答案提交
      • 🧠思路
      • 🖥︎参考答案
    • ✨最大连通分块(DFS)
      • ❓️问题描述
      • 答案提交
      • 🧠思路
      • 🖥︎参考答案
    • ✨哪一天(模拟题)
      • ❓️问题描述
      • 输入格式
      • 输出格式
      • 样例输入
      • 样例输出
      • 评测用例规模与约定
      • 🧠思路
      • 🖥︎参考代码
    • ✨信号覆盖(暴力模拟)
      • ❓️问题描述
      • 输入格式
      • 输出格式
      • 样例输入
      • 样例输出
      • 评测用例规模与约定
      • 🧠思路
      • 🖥︎参考代码
    • ✨清理水草(简单模拟)
      • ❓️问题描述
      • 输入格式
      • 输出格式
      • 样例输入
      • 样例输出
      • 样例输入
      • 样例输出
      • 评测用例规模与约定
      • 🧠思路
      • 🖥︎参考代码
    • ✨最长滑行(DFS搜索)
      • ❓️问题描述
      • 输入格式
      • 输出格式
      • 样例输入
      • 样例输出
      • 样例说明
      • 评测用例规模与约定
      • 🧠思路
      • 🖥︎参考代码
    • ✨区间最小值(ST表模板题)
      • ❓️问题描述
      • 输入格式
      • 输出格式
      • 样例输入
      • 样例输出
      • 评测用例规模与约定
      • 🧠思路
        • RMQ问题
        • ST ( Sparse Table ) 算法
        • 查询区间
      • 🖥︎参考代码

✨最小的十六进制(python的16进制)

❓️问题描述

请找到一个大于 2022 的最小数,这个数转换成十六进制之后,所有的数位(不含前导 0)都为字母(A 到 F)。
请将这个数的十进制形式作为答案提交。

答案提交

这是一道结果填空的题,你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数,在提交答案时只填写这个整数,填写多余的内容将无法得分。

🧠思路

这道题和第一期模拟赛的第一题都是考虑到了二进制,对于python来说,还是很快的,只需要从2022开始遍历,利用python的bin函数,就可以迅速将十进制转成二进制,然后再减去首字母的两个0b即可,判断最低的6个尾数为0即可。

🖥︎参考答案

2730

i = 2023 # 从大于2022的数开始遍历
while True:
    s = hex(i)[2:] # 转化为16进制
    if s.isalpha(): # 如果全是字母返回true
        print(i,s) # 2730 aaa
        break
    i += 1

✨Excel的列(进制转化)

❓️问题描述

在 Excel 中,列的名称使用英文字母的组合。前 26 列用一个字母,依次为 A 到 Z,接下来 26*26 列使用两个字母的组合,依次为 AA 到 ZZ。

请问第 2022 列的名称是什么?

答案提交

这是一道结果填空的题,你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数,在提交答案时只填写这个整数,填写多余的内容将无法得分。

🧠思路

如果以2个字母的组合为列名,最多为26x26=676个列,所以2022列就是以三个字母的组合去得到的,其实简单一点这道题也可以进行简单的手算,但是仔细一看,实际上就是2022转成26进制即可,但是这个26进制没有数字,是从A~Z。

其实这道题,我们也可以列一个数组,穷举把所有数算出来,然后取对应位置2022的数据出来就好了,这两种方法都OK的。

🖥︎参考答案

BYT

转化为26进制

def to_base_26(num):
    """
    Convert an integer to base 26.
    """
    if num == 0:
        return 'A' # 如果为0 
    
    letters = []
    while num > 0:
        num, rem = divmod(num, 26)
        letters.append(chr(ord('A') + rem - 1)) 
    
    return ''.join(reversed(letters)) # 进行翻转

print(to_base_26(2022))

穷举法

def get(x, y, z):
    return x * 26 * 26 + y * 26 + z

def ans(x, y, z):
    s = ''
    s += chr(ord('A') + x - 1)
    s += chr(ord('A') + y - 1)
    s += chr(ord('A') + z - 1)
    return s

n = 2022

for i in range(1, 27):
    for j in range(1, 27):
        for k in range(1, 27):
            if get(i, j, k) == n:
                print(ans(i, j, k))
                exit()

✨相等日期(datetime日期)

❓️问题描述

对于一个日期,我们可以计算出年份的各个数位上的数字之和,也可以分别计算月和日的各位数字之和。请问从 1900 年 1 月 1 日至 9999 年 12 月 31 日,总共有多少天,年份的数位数字之和等于月的数位数字之和加日的数位数字之和。

例如,2022年11月13日满足要求,因为 2+0+2+2=(1+1)+(1+3) 。

请提交满足条件的日期的总数量。

答案提交

这是一道结果填空的题,你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数,在提交答案时只填写这个整数,填写多余的内容将无法得分。

🧠思路

这道题最简单的话,就是可以利用python的datetime库进行判断,转成字符串进行计数,最后把符合条件的结果计数输出就是最后日期的总数量。

🖥︎参考答案

70910

import datetime
start = datetime.date(1900,1,1)
end = datetime.date(9999,12,31)

# 把字符串转为会数字,2022转化为2+0+2+2=6
def get_num(n):
    return sum([int(i) for i in str(n)])
 
cnt = 0
while start < end:
    y,m,d = start.year, start.month, start.day
    if get_num(y) == get_num(m) + get_num(d):
        cnt += 1
    start += datetime.timedelta(days=1)

print(cnt) # 70910

✨多少种取法(简单模拟)

❓️问题描述

小蓝有 30 个数,分别为:99, 22, 51, 63, 72, 61, 20, 88, 40, 21, 63, 30, 11, 18, 99, 12, 93, 16, 7, 53, 64, 9, 28, 84, 34, 96, 52, 82, 51, 77

小蓝可以在这些数中取出两个序号不同的数,共有 30*29/2=435 种取法。
请问这 435 种取法中,有多少种取法取出的两个数的乘积大于等于 2022 。

答案提交

这是一道结果填空的题,你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数,在提交答案时只填写这个整数,填写多余的内容将无法得分。

🧠思路

这道题其实很简单的,就是随机取两个数,然后进行判断,如果符合条件的话计数,最后就把结果输出即可

🖥︎参考答案

189

nums = [0, 99, 22, 51, 63, 72, 61, 20, 88, 40,
	21, 63, 30, 11, 18, 99, 12, 93, 16, 7, 53,
	64, 9, 28, 84, 34, 96, 52, 82, 51, 77]

cnt = 0
for i in range(1,31):
    for j in range(i+1,31):
        if nums[i]*nums[j] >= 2022: # >=2022
            cnt += 1
print(cnt) # 189

✨最大连通分块(DFS)

❓️问题描述

小蓝有一个 30 行 60 列的数字矩阵,矩阵中的每个数都是 0 或 1 。如果从一个标为 1 的位置可以通过上下左右走到另一个标为 1 的位置,则称两个位置连通。与某一个标为 1 的位置连通的所有位置(包括自己)组成一个连通分块。
请问矩阵中最大的连通分块有多大?

110010000011111110101001001001101010111011011011101001111110
010000000001010001101100000010010110001111100010101100011110
001011101000100011111111111010000010010101010111001000010100
101100001101011101101011011001000110111111010000000110110000
010101100100010000111000100111100110001110111101010011001011
010011011010011110111101111001001001010111110001101000100011
101001011000110100001101011000000110110110100100110111101011
101111000000101000111001100010110000100110001001000101011001
001110111010001011110000001111100001010101001110011010101110
001010101000110001011111001010111111100110000011011111101010
011111100011001110100101001011110011000101011000100111001011
011010001101011110011011111010111110010100101000110111010110
001110000111100100101110001011101010001100010111110111011011
111100001000001100010110101100111001001111100100110000001101
001110010000000111011110000011000010101000111000000110101101
100100011101011111001101001010011111110010111101000010000111
110010100110101100001101111101010011000110101100000110001010
110101101100001110000100010001001010100010110100100001000011
100100000100001101010101001101000101101000000101111110001010
101101011010101000111110110000110100000010011111111100110010
101111000100000100011000010001011111001010010001010110001010
001010001110101010000100010011101001010101101101010111100101
001111110000101100010111111100000100101010000001011101100001
101011110010000010010110000100001010011111100011011000110010
011110010100011101100101111101000001011100001011010001110011
000101000101000010010010110111000010101111001101100110011100
100011100110011111000110011001111100001110110111001001000111
111011000110001000110111011001011110010010010110101000011111
011110011110110110011011001011010000100100101010110000010011
010011110011100101010101111010001001001111101111101110011101

答案提交

这是一道结果填空的题,你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数,在提交答案时只填写这个整数,填写多余的内容将无法得分。

🧠思路

这道题是一道

🖥︎参考答案

148

import sys
sys.setrecursionlimit(1<<31-1)

matrix = '''110010000011111110101001001001101010111011011011101001111110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'''

matrix = matrix.split('\n')

matrix = list(map(list,matrix))

n,m = len(matrix), len(matrix[0])

f = [(-1,0),(1,0),(0,-1),(0,1)]

def dfs(x,y):
    global cnt
    matrix[x][y] = '0'
    cnt += 1
    for fx,fy in f:
        nx,ny = x + fx, y + fy
        if 0<=nx<n and 0<=ny<m and matrix[nx][ny] == '1':
            dfs(nx,ny) # 进行深搜
        
ans = 0
for i in range(n):
    for j in range(m):
        if matrix[i][j] == '1':
            cnt = 0 # 求取连通分量
            dfs(i,j) 
            ans = max(ans,cnt) # 取最大连通分量
print(ans)

✨哪一天(模拟题)

❓️问题描述

给定一天是一周中的哪天,请问 n 天后是一周中的哪天?

输入格式

输入第一行包含一个整数 w,表示给定的天是一周中的哪天,w 为 1 到 6 分别表示周一到周六,w 为 7 表示周日。

第二行包含一个整数 n。

输出格式

输出一行包含一个整数,表示 n 天后是一周中的哪天,1 到 6 分别表示周一到周六,7 表示周日。

样例输入

6
10

样例输出

2

评测用例规模与约定

对于所有评测用例, 1 < = n < = 1000000 1 <= n <= 1000000 1<=n<=1000000

🧠思路

这道题实际上就是模拟题,首先我们可以认为是0~6分别代表周一到周日,我们只需要把(当前星期+n天数%7)就可以得到n天后是周几,由于是0-indexing的,所以+1转成1-indexing

🖥︎参考代码

w = int(input())
n = int(input())

print((w-1+n)%7+1)

✨信号覆盖(暴力模拟)

❓️问题描述

小蓝负责一块区域的信号塔安装,整块区域是一个长方形区域,建立坐标轴后,西南角坐标为 (0, 0), 东南角坐标为 (W, 0), 西北角坐标为 (0, H), 东北角坐标为 (W, H)。其中 W, H 都是整数。

他在 n 个位置设置了信号塔,每个信号塔可以覆盖以自己为圆心,半径为 R 的圆形(包括边缘)。

为了对信号覆盖的情况进行检查,小蓝打算在区域内的所有横纵坐标为整数的点进行测试,检查信号状态。其中横坐标范围为 0 到 W,纵坐标范围为 0 到 H,总共测试 (W+1) * (H+1) 个点。

给定信号塔的位置,请问这 (W+1)*(H+1) 个点中有多少个点被信号覆盖。

输入格式

输入第一行包含四个整数 W, H, n, R,相邻整数之间使用一个空格分隔。
接下来 n 行,每行包含两个整数 x, y,表示一个信号塔的坐标。信号塔可能重合,表示两个信号发射器装在了同一个位置。

输出格式

输出一行包含一个整数,表示答案。

样例输入

10 10 2 5
0 0
7 0

样例输出

57

评测用例规模与约定

对于所有评测用例,1 <= W, H <= 100,1 <= n <= 100, 1 <= R <= 100, 0 <= x <= W, 0 <= y <= H。

🧠思路

这道题实际上一看下来,就是一个暴力模拟的题目了,只需要循环这(W+1)*(H+1)个点,查看有哪些被信号覆盖即可,所以这道题可以直接穷举,看题目的一个数量级不大,所以 O ( n 3 ) O(n^3) O(n3)应该也是没问题的,我稍微改进了一下简单的穷举,我只对每一个信号塔周边的区域进行判断。

也可以遍历所有的点,然后遍历所有的信号塔查看是否有覆盖,但是那个可能就会代码简单,时间复杂一点

🖥︎参考代码

w,h,n,R = map(int,input().split())

def dist(x1,y1,x2,y2):
    return ((x1-x2)**2+(y1-y2)**2)**0.5

flag = [[0]*(h+1) for _ in range(w+1)] # flag[i][j]表示是否有记录过
cnt = 0
for k in range(n):
    x,y = map(int,input().split())
    for i in range(x-R,x+R+1):
        for j in range(y-R,y+R+1):
            if 0<=i<=w and 0<=j<=h and flag[i][j]==0 and dist(i,j,x,y) <= R:
                flag[i][j] = 1 # 标记代表已经记录过被覆盖了
                cnt += 1
print(cnt)

✨清理水草(简单模拟)

❓️问题描述

小蓝有一个 n * m 大小的矩形水域,小蓝将这个水域划分为 n 行 m 列,行数从 1 到 n 标号,列数从 1 到 m 标号。每行和每列的宽度都是单位 1 。

现在,这个水域长满了水草,小蓝要清理水草。

每次,小蓝可以清理一块矩形的区域,从第 r1 行(含)到第 r2 行(含)的第 c1 列(含)到 c2 列(含)。

经过一段时间清理后,请问还有多少地方没有被清理过。

输入格式

输入第一行包含两个整数 n, m,用一个空格分隔。

第二行包含一个整数 t ,表示清理的次数。

接下来 t 行,每行四个整数 r1, c1, r2, c2,相邻整数之间用一个空格分隔,表示一次清理。请注意输入的顺序。

输出格式

输出一行包含一个整数,表示没有被清理过的面积。

样例输入

2 3
2
1 1 1 3
1 2 2 2

样例输出

2

样例输入

30 20
2
5 5 10 15
6 7 15 9

样例输出

519

评测用例规模与约定

对于所有评测用例,1 <= r1 <= r2 <= n <= 100, 1 <= c1 <= c2 <= m <= 100, 0 <= t <= 100。

🧠思路

感觉这道题也是一样的,和前面的信号覆盖也是类似的,并且数据也不是很大,所以首先就用模拟的穷举也可以很快的写出来,只要把清理过的标为0,其他均为1,之后进行求和即可

所以以下简单的思路还是用一个flag数组表示是否清理过,然后计数所有清理过的草坪,最后总数-清理过的草坪就可以得到未清理过的草坪了。

🖥︎参考代码

w,h = map(int,input().split())
t = int(input())

flag = [[0]*(h+1) for _ in range(w+1)] # flag[i][j]代表是否清理过
cnt = 0
for _ in range(t):
    r1, c1, r2, c2 = map(int,input().split())
    for i in range(r1,r2+1):
        for j in range(c1,c2+1):
            if flag[i][j] == 0:
                flag[i][j] = 1
                cnt += 1 # 清理过的草坪+1
print(w*h-cnt) # 剩余未清理的草坪

✨最长滑行(DFS搜索)

❓️问题描述

小蓝准备在一个空旷的场地里面滑行,这个场地的高度不一,小蓝用一个 n 行 m 列的矩阵来表示场地,矩阵中的数值表示场地的高度。

如果小蓝在某个位置,而他上、下、左、右中有一个位置的高度(严格)低于当前的高度,小蓝就可以滑过去,滑动距离为 1 。

如果小蓝在某个位置,而他上、下、左、右中所有位置的高度都大于等于当前的高度,小蓝的滑行就结束了。

小蓝不能滑出矩阵所表示的场地。

小蓝可以任意选择一个位置开始滑行,请问小蓝最多能滑行多远距离。

输入格式

输入第一行包含两个整数 n, m,用一个空格分隔。

接下来 n 行,每行包含 m 个整数,相邻整数之间用一个空格分隔,依次表示每个位置的高度。

输出格式

输出一行包含一个整数,表示答案。

样例输入

4 5
1 4 6 3 1
11 8 7 3 1
9 4 5 2 1
1 3 2 2 1

样例输出

7

样例说明

滑行的位置一次为 (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 3), (3, 2), (4, 2), (4, 3)。

评测用例规模与约定

对于 30 % 评测用例, 1 < = n < = 20 , 1 < = m < = 20 1 < = n < = 20, 1 < = m < = 20 1<=n<=20,1<=m<=20 0 < = 高度 < = 100 0 < = 高度 < = 100 0<=高度<=100

对于所有评测用例, 1 < = n < = 100 , 1 < = m < = 100 , 0 < = 高度 < = 10000 1 < = n < = 100 ,1 < = m < = 100 ,0 < = 高度 < = 10000 1<=n<=1001<=m<=1000<=高度<=10000

🧠思路

这道题实际上就是一道搜索问题,本质上我们还是使用DFS进行求解,我们可以从任意一个点开始搜索,然后最后取最大值就是我们最后的结果。这里我们使用DFS求解,为了加快速度,我们还是使用了记忆化搜索,如果发现已经搜索过了,就直接返回结果即可。

首先简单讲一讲DFS的思路吧,我们会从当前x,y进行不断搜索,然后发现下一个点符合条件,在范围内且严格小于当前点的高度,我们就继续搜索,因为我们要取最长,所以我们要取max,不断取最优的结果,最后都记录到我们的dp数组中

这样在下一次搜索的时候,如果发现当前的dp数组的值已经被记录过了,那我们就直接返回值即可,就不需要那么多花里胡哨的操作,其实这道题可能也叫树形的DFS,有时候还是会出现的,不过思路还是OK的,就是类似于树形一样不断迭代dfs而已,最后就是还要加上这个递归深度的代码,这样保证自己不会出错!!!

🖥︎参考代码

import sys
sys.setrecursionlimit(1<<31-1) # 设置最大的递归深度

n,m = map(int,input().split())
a = []
for _ in range(n):
    a.append(list(map(int,input().split())))

dp = [[-1]*m for _ in range(n)] # 记忆化搜索

f = [(-1,0),(1,0),(0,-1),(0,1)]

# 返回从x,y开始的最长距离
def dfs(x,y):
    if dp[x][y] != -1: return dp[x][y] # 如果说明不为-1,说明已经记录过了,直接返回即可
    res = 1
    for fx,fy in f:
        nx,ny = x+fx,y+fy
        if 0<=nx<n and 0<=ny<m and a[x][y] > a[nx][ny]:
            # dfs(nx,ny)代表从ny,ny的最长距离
            res = max(res,dfs(nx,ny) + 1) # 不断取最优的
    dp[x][y] = res # 记录当前值
    return dp[x][y]

ans = 0
for i in range(n):
    for j in range(m):
        ans = max(ans, dfs(i,j))
print(ans)

✨区间最小值(ST表模板题)

❓️问题描述

小蓝有一个序列 a [ 1 ] , a [ 2 ] , … , a [ n ] a[1], a[2], …, a[n] a[1],a[2],,a[n]

给定一个正整数 k,请问对于每一个 1 到 n 之间的序号 i, a [ i − k ] , a [ i − k + 1 ] , … , a [ i + k ] a[i-k], a[i-k+1], …, a[i+k] a[ik],a[ik+1],,a[i+k] 这 2k+1 个数中的最小值是多少?

当某个下标超过 1 到 n 的范围时,数不存在,求最小值时只取存在的那些值。

输入格式

输入的第一行包含一整数 n。

第二行包含 n 个整数,分别表示 a[1], a[2], …, a[n]。

第三行包含一个整数 k 。

输出格式

输出一行,包含 n 个整数,分别表示对于每个序号求得的最小值。

样例输入

5
5 2 7 4 3
1

样例输出

2 2 2 3 3

评测用例规模与约定

对于 30%的评测用例, 1 < n < = 1000 , 1 < = a [ i ] < = 1000 1 < n <= 1000,1 <= a[i] <=1000 1<n<=1000,1<=a[i]<=1000

对于60%的评测用例, 1 < = n < = 10000 , 1 < = a [ i ] < = 50000 1 <= n <= 10000,1 <= a[i] <=50000 1<=n<=10000,1<=a[i]<=50000

对于所有评测用例, 1 < = n < = 100000 , 1 < = a [ i ] < = 1000000 1 <= n <= 100000,1 <= a[i] <= 1000000 1<=n<=100000,1<=a[i]<=1000000

🧠思路

这道题属于一个模板题,就是需要知道这个ST表的模板,接下来我来介绍一下

RMQ问题

RMQ(Range Minimum/Maximum Query),即区间最值查询,是指这样一个问题:对于一个长度N的数组,在多次询问中,每次都以O(1)的时间得到区间[a, b]的最大值或最小值。

ST ( Sparse Table ) 算法

ST(Sparse Table)算法是一个非常有名的在线处理RMQ问题的算法,它可以在 O ( n l o g n ) O(nlogn) O(nlogn)时间内进行预处理,然后在 O ( 1 ) O(1) O(1)时间内回答每个查询。其思想就是保存以i为起点的某段数据的最小值。

预处理,用动态规划(DP)解决。思想接近于二路归并排序过程的分治思想。

  1. 既然是DP思想,首先要记录每步的状态。

    A [ i ] A[i] A[i]是要求区间最值的数列, F [ i , j ] F[i, j] F[i,j]表示从第 i i i个数起连续 2 j 2^j 2j个数中的最大值。 这里的 F [ i , j ] F[i, j] F[i,j]就是每步的状态。

例如:

A数列为:3 2 4 5 6 8 1 2 9 7

F[1,0]表示第1个数起,长度为2^0=1的最大值,其实就是3这个数。

同理 : F[1,1] = max(3,2) = 3, F[1,2]=max(3,2,4,5) = 5,F[1,3] = max(3,2,4,5,6,8,1,2) = 8;

  1. 状态转移方程

    既然有每步的状态了,开始找状态转移方程。
    F [ i , j ] = m a x ( F [ i , j − 1 ] , F [ i + 2 ( j − 1 ) ] [ j − 1 ] ) F[i, j] = max(F[i, j-1], F[i+2^{(j-1)}][j-1]) F[i,j]=max(F[i,j1],F[i+2(j1)][j1])

怎么理解呢?

最初始状态:F[0, 0] = A[0]; F[1,0] = A[1]; F[2,0] = A[2]; 意思是说每单个元素的最大值都是自己(因为只有一个元素)

下一个状态:F[0, 1] = max(F[0,0], F[1,0]) = max(A[0], A[1]);

意思是说把F[0, 1] 分成两段,例如要求得F[3, 2] = max(A[3] , A[4], A[5], A[6]) 其实就是求四个元素的前两个以及后两个的最大值。在求F[3,2]的时候已经知道了F[3, 1]和F[5,1]了。

我们可以在看一个图

img

显然,区间 [ i , i + 2 j − 1 − 1 ] [i,i+2^{j-1}-1] [i,i+2j11] [ i + 2 j − 1 , i + 2 j − 1 ] [i+2^{j−1},i+2^j-1] [i+2j1,i+2j1]一定覆盖了区间 [ i , i + 2 j − 1 ] [i,i+2^j-1] [i,i+2j1],从图中也可以看出区间 [ i , i + 2 j − 1 ] [i,i+2^j-1] [i,i+2j1]内的最大值就是区间 [ i , i + 2 j − 1 − 1 ] [i,i+2^{j-1}-1] [i,i+2j11] [ i + 2 j − 1 , i + 2 j − 1 ] [i+2^{j−1},i+2^j-1] [i+2j1,i+2j1]内的最大值中更大的一个,所以就得到了上述的递推公式。
F [ i , j ] = m a x ( F [ i ] [ j − 1 ] , F [ i + 2 ( j − 1 ) ] [ j − 1 ] ) F[i, j] = max(F[i][j-1], F[i+2^{(j-1)}][j-1]) F[i,j]=max(F[i][j1],F[i+2(j1)][j1])
代码如下:

def RMQ():
    t=int(math.log2(length)) # 注意边界,取log2
    dp=[[0]*(t+1) for _ in range(length+1)]
    for i in range(1,length+1): dp[i][0]=data[i] # 初始化
    for j in range(1,t+1):
        for i in range(length-(1<<i)+1): # i + 1<<j - 1 <= n 进行转化
            dp[i][j]=max(dp[i][j-1],dp[i+(1<<(j-1))][j-1]) # 状态转移方程

查询区间

那么查询怎么做呢?毕竟我们存放的都是2次幂个数的最小值。假如查询的区间是奇数个,或不是2次幂个数怎么弄?

其实很简单,就是把头尾分开!

假如我们需要查询的区间为 ( i , j ) (i,j) (i,j),那么我们需要找到小于这个闭区间(左边界取i,右边界取j)的最大幂(可以重复,比如查询5,6,7,8,9,我们可以查询5678和6789)

  1. 区间的长度为j - i + 1
  2. 可以取t=log2( j - i + 1) 区间是1->3 就取 log2( 3 - 1 + 1) = 1小于等于区间的最大幂
  3. RMQ(A, i, j)=max{F[i , t], F[ j - 2 ^ t + 1, t]}

所以总结下来,先计算出一个满足 2 t < r − l + 1 < 2 t + 1 2^t<r−l+1<2^{t+1} 2t<rl+1<2t+1的t值,即小于区间长度的2的最高次幂。

显然,区间 [ l , l + 2 t − 1 ] [l,l+2^{t-1}] [l,l+2t1] [ r − 2 t + 1 , r ] [r-2^{t}+1,r] [r2t+1,r]一定覆盖了区间[l,r],如下图:

img

F[i, t] 是左边界起点向左找,F[ j - 2 ^ k + 1, k]是右边界作为终点,向右找起点。 一定要用小于等于区间的最大幂是因为要能够两个F加在一起能够覆盖整个区间。

所以知道了所有的方法,直接套用st模板即可

其实还有更简单的,但是可能不能全过,但是我们肯定能拿分,就是直接穷举呗,本身python也有min函数

🖥︎参考代码

ST模板

import math

# ST模板
class ST:
    def __init__(self,data):
        length = len(data)
        data = [0] + data # 变成 1-indexing
        t = int(math.log2(length)) # 取log2
        dp=[[float('inf')]*(t+1) for _ in range(length+1)] # 定义DP数组
        
        for i in range(1,length+1):
            dp[i][0] = data[i] # 初始化
        
        for j in range(1,t+1):
            for i in range(length-(1<<j)+1 + 1): # i + 1<<j - 1 <= n 进行转化
                dp[i][j]=min(dp[i][j-1],dp[i+(1<<(j-1))][j-1]) # 状态转移方程
            
        self.dp=dp
        
    def query(self,L,R):
        t = int(math.log2(R-L+1))
        dp= self.dp
        return min(dp[L][t],dp[R-(1<<t)+1][t])
    
n = int(input())
a = list(map(int,input().split())) # 0-indexing
k = int(input())
st = ST(a) # 构建st表
for i in range(1,n+1):
    l = max(1,i-k)  
    r = min(n,i+k)
    print(st.query(l,r),end=' ')

穷举

我感觉穷举可以拿60%的分

n = int(input())
a = list(map(int,input().split()))
k = int(input())

for i in range(n):
    l = max(0,i-k)
    r = min(i+k,n-1)
    print(min(a[l:r+1]),end=' ')

http://www.kler.cn/a/1953.html

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