预测模型：MATLAB线性回归

1. 线性回归模型的基本原理

  线性回归是统计学中用来预测连续变量之间关系的一种方法。它假设变量之间存在线性关系，可以通过一个或多个自变量（预测变量）来预测因变量（响应变量）的值。基本的线性回归模型可以表示为：
$$y={\beta }_0+{\beta }_1{x}_1+{\beta }_2{x}_2+...+{\beta }_n{x}_n+ϵ$$
其中，$y$是因变量，$x_1,x_2,...,x_n$是自变量，${\beta }_0$是截距项，${\beta }_1,{\beta }_2,...,{\beta }_n$是回归系数，$ϵ$是误差项。

2. MATLAB中线性回归的求解

  MATLAB提供了多种工具和函数来进行线性回归分析，包括fitlm函数用于创建线性回归模型，以及regress函数等。fitlm提供了一个方便的接口来拟合线性模型，自动计算回归系数，并提供了估计的统计信息。

3. 实例分析

  假设我们有一组数据，包含了一家公司的广告支出和相应的销售额。我们想要建立一个模型，预测根据广告支出预测销售额。

数据：

使用MATLAB进行线性回归分析：

clc,clear
% 加载数据
X = [1.2, 2.1, 0.9, 1.8, 1.5 , 2.5]; % 广告支出
Y = [58, 75, 49, 72, 65, 90]; % 销售额

% 线性回归分析
mdl = fitlm(X, Y);

disp(mdl)

% 绘制数据点
figure; % 创建一个新的图形窗口
scatter(X, Y, 'filled'); % 绘制散点图
hold on; % 保持图形，以便在同一图形上添加回归线

% 计算回归线
b = mdl.Coefficients.Estimate; % 获取回归系数
refX = min(X):0.01:max(X); % 生成一个参考X值的向量，用于绘制回归线
refY = b(1) + b(2)*refX; % 计算对应的Y值

% 绘制回归线
plot(refX, refY, 'r', 'LineWidth', 2); % 绘制红色的回归线

% 标题和轴标签
title('广告支出与销售额的线性回归分析');
xlabel('广告支出（万）');
ylabel('销售额（万）');

% 显示图例
legend('观测数据', '回归线', 'Location', 'best');

hold off; % 释放图形

4. 求解结果

  在代码中，fitlm函数会输出一个线性模型对象，其中包含了模型的详细统计信息，如回归系数的估计值、$R^2$值（解释变量对响应变量的解释程度）、p值等，可以用来评估模型的质量和预测能力。

具体结果如下：

线性回归图如下：

通过线性回归模型，我们可以预测在不同的广告支出下可能获得的销售额，这对于资源分配和营销策略的制定极为重要。线性回归模型是最简单的预测模型之一，后面还会介绍其他的回归预测模型。