代码随想录算法训练营第三十三天丨[重看] 最大子数组、1143. 最长公共子序列/15.4 最长公共子序列

继续卷！！！！！！

想了好久想通了了昨天的最大子数组问题。

最大子数组：

定义一个DP数组来存储到每个位置为止的最大子数组和。这个DP数组和递推式可以这样定义：

DP数组

• dp[i] 表示以第 i 个元素结尾的最大子数组和。

初始条件

• dp[0] = nums[0]，因为以第一个元素结尾的最大子数组和就是它自己。

递推式

• 对于每个 i（从1开始），dp[i] = max(dp[i-1] + nums[i], nums[i])。
• 这个递推式的含义是，对于每个位置 i，我们有两个选择：
  • 将 nums[i] 加入到以 nums[i-1] 结尾的子数组中，这样的话最大和就是 dp[i-1] + nums[i]。
  • 从 nums[i] 开始一个新的子数组，这种情况下最大和就是 nums[i] 本身。
• 我们选择这两种情况中较大的一个作为 dp[i] 的值。

def maxSubArray(nums):
    n = len(nums)
    if n == 0:
        return 0
    
    dp = [0] * n
    dp[0] = nums[0]
    
    for i in range(1, n):
        dp[i] = max(dp[i-1] + nums[i], nums[i])
    
    return max(dp)

优化：

Kadane算法通过只维护当前最大和和全局最大和来优化这个过程，将空间复杂度降低到O(1)。

class Solution:
    def maxSubArray(self, nums: List[int]) -> int:
        # 如果数组为空，直接返回0
        if not nums:
            return 0
        
        # 初始化当前最大和为数组的第一个元素，全局最大和也是第一个元素
        current_max = global_max = nums[0]
        
        # 遍历数组，从第二个元素开始
        for num in nums[1:]:
            # 更新当前最大和
            current_max = max(num, current_max + num)
            # 更新全局最大和
            global_max = max(global_max, current_max)
        
        return global_max

1143. 最长公共子序列/15.4 最长公共子序列

• 状态定义：定义 dp[i][j] 为序列 text1[0..i-1] 和 text2[0..j-1] 的最长公共子序列的长度。
• 转移方程：
  • 如果 text1[i-1] == text2[j-1]，则 dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1。
  • 否则，dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])。
• 初始化：dp[0][j] 和 dp[i][0] 初始化为0，因为任何字符串与空字符串的最长公共子序列长度为0。
• 填表方式：按行或按列逐步填充DP表。

class Solution:
    def longestCommonSubsequence(self, text1: str, text2: str) -> int:
        x, y = len(text1), len(text2)
        dp = [[0] * (x + 1) for _ in range(y + 1)]

        for i in range(1, y + 1):
            for j in range(1, x + 1):
                if text1[j - 1] == text2[i - 1]:
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1
                elif dp[i][j - 1] >= dp[i - 1][j]:
                    dp[i][j] = dp[i][j - 1]
                else:
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j]

        return dp[y][x]

解题遇到两个错误，这里先记录，以后跟着刷题的时候注意：

1. 初始代码中，混淆DP表的行列对应关系，导致在填充DP表时尝试访问了不存在的数组元素。具体来说，您将DP表定义为 (y + 1) x (x + 1)，但在填充时按照 (x + 1) x (y + 1) 的顺序进行，不符合DP表的实际维度。

2. 在填充DP表时，外层循环应该遍历 text2（对应于DP表的行），内层循环应该遍历 text1（对应于DP表的列）。初始代码中的循环顺序与此相反，导致了越界。