【算法】火柴排队（离散化、归并排序）

涵涵有两盒火柴，每盒装有 n 根火柴，每根火柴都有一个高度。现在将每盒中的火柴各自排成一列，同一列火柴的高度互不相同，两列火柴之间的距离定义为：

∑i=(ai−bi)^2，其中 ai 表示第一列火柴中第 i个火柴的高度，bi表示第二列火柴中第 i个火柴的高度。 

每列火柴中相邻两根火柴的位置都可以交换，请你通过交换使得两列火柴之间的距离最小。

请问得到这个最小的距离，最少需要交换多少次？

如果这个数字太大，请输出这个最小交换次数对 99,999,997取模的结果。

输入格式

共三行，第一行包含一个整数 n，表示每盒中火柴的数目。 

第二行有 n 个整数，每两个整数之间用一个空格隔开，表示第一列火柴的高度。

第三行有 n个整数，每两个整数之间用一个空格隔开，表示第二列火柴的高度。

输出格式

输出共一行，包含一个整数，表示最少交换次数对 99,999,997取模的结果。

数据范围

1≤n≤1e5
0≤火柴高度≤2e31-1

输入样例：

4
2 3 1 4
3 2 1 4

输出样例：

1

 离散化模板：

把无限空间中有限的个体映射到有限的空间中去，以此提高算法的时空效率。通俗的说，离散化是在不改变数据相对大小的条件下，对数据进行相应的缩小

如这一道题就将2e9转化为2e5，节约空间

void work(int a[]){
    for(int i=1;i<=n;i++){
        p[i]=i;//存放离散化的下标
    }
    sort(p+1,p+n+1,[&](int x,int y){return a[x]<a[y];});//升序
    for(int i=1;i<=n;i++){
        a[p[i]]=i;
    }
}

归并排序模板：

 int merge_sort(int l,int r){//归并排序可以求出逆序对的数量
    if(l>=r) return 0;
    int mid=(l+r)>>1;
    int res=merge_sort(l,mid)+merge_sort(mid+1,r);
    int i=l,j=mid+1,k=0;
    while(i<=mid&&j<=r){
        if(b[i]<b[j]) p[k++]=b[i++];
        else{
            p[k++]=b[j++];
            res=res+mid-i+1;
        } 
    }
    while(i<=mid) p[k++]=b[i++];
    while(j<=r) p[k++]=b[j++];
    for(i=l,j=0;j<k;i++,j++){
        b[i]=p[j];
    }
    return res;
}

映射：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#define N 100010
#define MOD 99999997
using namespace std;

int n;
int a[N],b[N],c[N],p[N];

void work(int a[]){
    for(int i=1;i<=n;i++){
        p[i]=i;//存放离散化的下标
    }
    sort(p+1,p+n+1,[&](int x,int y){return a[x]<a[y];});//升序
    for(int i=1;i<=n;i++){
        a[p[i]]=i;
    }
}

int merge_sort(int l,int r){//归并排序可以求出逆序对的数量
    if(l>=r) return 0;
    int mid=(l+r)>>1;
    int res=(merge_sort(l,mid)+merge_sort(mid+1,r))%MOD;
    int i=l,j=mid+1,k=0;
    while(i<=mid&&j<=r){
        if(b[i]<b[j]) p[k++]=b[i++];
        else{
            p[k++]=b[j++];
            res=(res+mid-i+1)%MOD;
        } 
    }
    while(i<=mid) p[k++]=b[i++];
    while(j<=r) p[k++]=b[j++];
    for(i=l,j=0;j<k;i++,j++){
        b[i]=p[j];
    }
    return res;
}
int main(){
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>a[i];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>b[i];
    }
    
    work(a),work(b);//将a,b离散化
    for(int i=1;i<=n;i++){
        c[a[i]]=i;//将a数组中的元素赋值为其下标并存在数组c中
                  //a数组相当与升序
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        b[i]=c[b[i]];//映射，b数组的值要先去查找a数组所对应的下标值
    }
    cout<<merge_sort(1,n);//归并排序
    return 0;
    
}