【leetcode】动态规划专题
70.爬楼梯
假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？
示例 1：
输入：n = 2 输出：2 解释：有两种方法可以爬到楼顶。 1. 1 阶 + 1 阶 2. 2 阶
示例 2：
输入：n = 3 输出：3 解释：有三种方法可以爬到楼顶。 1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶 2. 1 阶 + 2 阶 3. 2 阶 + 1 阶
提示：
1 <= n <= 45
class Solution {
public:
int climbStairs(int n) { // 定义函数，参数为楼梯的阶数n，返回值为方法总数
if (n == 1) return 1; // 如果只有一阶楼梯，只有一种方法，直接返回1
if (n == 2) return 2; // 如果有两阶楼梯，有两种方法，直接返回2
int dp[n + 1]; // 创建一个动态规划数组，用于记录爬到每个阶梯的方法总数，长度为n+1
dp[1] = 1; // 初始状态：爬到第一阶楼梯只有一种方法
dp[2] = 2; // 初始状态：爬到第二阶楼梯有两种方法
// 动态规划递推计算爬到每个阶梯的方法总数
for (int i = 3; i <= n; ++i) { // 从第3阶楼梯开始计算
dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]; // 爬到第i阶楼梯的方法总数等于爬到第i-1阶和第i-2阶楼梯方法总数之和
}
return dp[n]; // 返回爬到第n阶楼梯的方法总数
}
};
509.斐波那契数
斐波那契数 （通常用 F(n) 表示）形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是：
F(0) = 0，F(1) = 1 F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1
给定 n ，请计算 F(n) 。
示例 1：
输入：n = 2 输出：1 解释：F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1
示例 2：
输入：n = 3 输出：2 解释：F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2
示例 3：
输入：n = 4 输出：3 解释：F(4) = F(3) + F(2) = 2 + 1 = 3
提示：
0 <= n <= 30
class Solution {
public:
int fib(int n) {
// 斐波那契数列的初始值
int fib0 = 0; // F(0)
int fib1 = 1; // F(1)
// 特殊情况处理：当 n 为 0 或 1 时，直接返回 n
if (n == 0) return fib0;
if (n == 1) return fib1;
// 从 F(2) 开始计算，依次计算直到 F(n)
for (int i = 2; i <= n; ++i) {
// 计算当前斐波那契数 F(i) = F(i-1) + F(i-2)
int fibi = fib0 + fib1;
// 更新 fib0 和 fib1 的值为下一次迭代所需的值
fib0 = fib1;
fib1 = fibi;
}
// 返回计算得到的斐波那契数 F(n)
return fib1;
}
};
1137.第N个泰波那契数
泰波那契序列 Tn 定义如下：
T0 = 0, T1 = 1, T2 = 1, 且在 n >= 0 的条件下 Tn+3 = Tn + Tn+1 + Tn+2
给你整数 n，请返回第 n 个泰波那契数 Tn 的值。
示例 1：
输入：n = 4 输出：4 解释： T_3 = 0 + 1 + 1 = 2 T_4 = 1 + 1 + 2 = 4
示例 2：
输入：n = 25 输出：1389537
提示：
0 <= n <= 37- 答案保证是一个 32 位整数，即
answer <= 2^31 - 1。
class Solution {
public:
int tribonacci(int n) {
if (n == 0) return 0; // 如果 n 等于 0，直接返回 T0 = 0
if (n == 1 || n == 2) return 1; // 如果 n 等于 1 或 2，直接返回 T1 = T2 = 1
int dp[3]; // 定义一个数组用于存放前三个泰波那契数
dp[0] = 0; // 初始化 T0
dp[1] = dp[2] = 1; // 初始化 T1 和 T2
// 从第 3 个数开始逐步计算直到第 n 个数
for (int i = 3; i <= n; ++i) {
int temp = dp[0] + dp[1] + dp[2]; // 计算当前数值
dp[0] = dp[1]; // 更新前三个数值
dp[1] = dp[2];
dp[2] = temp;
}
return dp[2]; // 返回第 n 个泰波那契数 Tn
}
};
746.使用最小花费爬楼梯
给你一个整数数组 cost ，其中 cost[i] 是从楼梯第 i 个台阶向上爬需要支付的费用。一旦你支付此费用，即可选择向上爬一个或者两个台阶。
你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯。
请你计算并返回达到楼梯顶部的最低花费。
示例 1：
输入：cost = [10,15,20] 输出：15 解释：你将从下标为 1 的台阶开始。 - 支付 15 ，向上爬两个台阶，到达楼梯顶部。 总花费为 15 。
示例 2：
输入：cost = [1,100,1,1,1,100,1,1,100,1] 输出：6 解释：你将从下标为 0 的台阶开始。 - 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 2 的台阶。 - 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 4 的台阶。 - 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 6 的台阶。 - 支付 1 ，向上爬一个台阶，到达下标为 7 的台阶。 - 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 9 的台阶。 - 支付 1 ，向上爬一个台阶，到达楼梯顶部。 总花费为 6 。
提示：
2 <= cost.length <= 10000 <= cost[i] <= 999
class Solution {
public:
int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) {
int n = cost.size(); // 获取台阶数
// 初始化到达第 0 和第 1 个台阶的最低花费
int dp0 = cost[0]; // 到达第 0 个台阶的最低花费是 cost[0]
int dp1 = cost[1]; // 到达第 1 个台阶的最低花费是 cost[1]
// 从第 2 个台阶开始计算到达每个台阶的最低花费
for (int i = 2; i < n; ++i) {
// 到达当前台阶的最低花费是前两个台阶的最低花费加上当前台阶的花费，取最小值
int dp2 = min(dp0, dp1) + cost[i];
// 更新前两个台阶的最低花费，准备下一轮计算
dp0 = dp1;
dp1 = dp2;
}
// 返回到达楼梯顶部的最低花费，即最后两个台阶的最小花费
return min(dp0, dp1);
}
};
198.打家劫舍
你是一个专业的小偷，计划偷窃沿街的房屋。每间房内都藏有一定的现金，影响你偷窃的唯一制约因素就是相邻的房屋装有相互连通的防盗系统，如果两间相邻的房屋在同一晚上被小偷闯入，系统会自动报警。
给定一个代表每个房屋存放金额的非负整数数组，计算你 不触动警报装置的情况下 ，一夜之内能够偷窃到的最高金额。
示例 1：
输入：[1,2,3,1] 输出：4 解释：偷窃 1 号房屋 (金额 = 1) ，然后偷窃 3 号房屋 (金额 = 3)。 偷窃到的最高金额 = 1 + 3 = 4 。
示例 2：
输入：[2,7,9,3,1] 输出：12 解释：偷窃 1 号房屋 (金额 = 2), 偷窃 3 号房屋 (金额 = 9)，接着偷窃 5 号房屋 (金额 = 1)。 偷窃到的最高金额 = 2 + 9 + 1 = 12 。
提示：
1 <= nums.length <= 1000 <= nums[i] <= 400
class Solution {
public:
int rob(std::vector<int>& nums) { // 定义rob函数，参数为存储房屋金额的向量nums
int n = nums.size(); // 获取房屋数量
if (n == 0) return 0; // 如果房屋数量为0，直接返回0，没有可以偷的房屋
if (n == 1) return nums[0]; // 如果房屋数量为1，直接返回第一个房屋的金额，因为只有一个房屋
std::vector<int> dp(n, 0); // 定义一个长度为n的向量dp，用于存储到达每个房屋时能够获取的最高金额，初始值全部为0
dp[0] = nums[0]; // 到达第一个房屋时，能够获取的最高金额为第一个房屋的金额
dp[1] = std::max(nums[0], nums[1]); // 到达第二个房屋时，能够获取的最高金额为前两个房屋金额的较大值
for (int i = 2; i < n; i++) { // 从第三个房屋开始遍历到最后一个房屋
dp[i] = std::max(dp[i-1], dp[i-2] + nums[i]); // 计算到达当前房屋时能够获取的最高金额，根据状态转移方程进行计算
}
return dp[n-1]; // 返回到达最后一个房屋时能够获取的最高金额
}
};