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数据结构（三）复杂度的深层次剖析

article 2025/2/5 21:59:34

之前发布了数据结构（一），很多同学反响不够清晰，那今天就发一篇对复杂度专题的博客，希望对大家理解复杂度提供一些帮助。

时间复杂度

我们先来一个理解一个复杂度，二分查找的复杂度（之前写过二分查找的专题博客，感兴趣的可以看一看） CSDN

我们在数据结构（一）中讲解了，但是没有画图，现在为了方便大家的理解现在我重新讲解一下。

我们先把代码拿出来看看

// 计算BinarySearch的时间复杂度？
int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
assert(a);
int begin = 0;
int end = n-1;
// [begin, end]：begin和end是左闭右闭区间，因此有=号
while (begin <= end)
{
int mid = begin + ((end-begin)>>1);
if (a[mid] < x)
begin = mid+1;
else if (a[mid] > x)
end = mid-1;
else
return mid;
}
return -1;
}

这时候大家会好奇该如何计算其复杂度，其实搞清楚原理也比较容易理解。

二分查找的原理就不在过多的讲解了，不懂的小伙伴可以去看看上面的链接。

我们还是老样子画图来为大家演示：

当我们在不断地缩减，直到缩减到只剩下一个值的时候。

那么这就是最坏的一个情况，如果这个值是我们想要找的那个值，那么就找到了，如果不是那么我们输出找不到。

随之而来的疑问就是，我们一共找了多少次呢？

假设我们有N个值，我们每次都缩减一半，那么就是N/2,这是一次。那么我们一共找了多少次呢？

N/2/2/2/2/2/2.............=1 直到我们找到那个数为止。这是最坏情况，那么我们除了多少个2呢？

不难看出，其实我们找了多少次就除了多少个2。

关键点拨：假设我找了X次，那么我们就可以得到表达式。

第一步：N/2/2/2/2/2/2/2...............=1

第二步：N=1*2^x （等式两边同时乘2）

第三步：2^x=N

第四步：化简

基本操作执行最好1次，最坏O(logN)次，时间复杂度为 O(logN) ps：logN在算法分析中表示是底
数为2，对数为N。有些地方会写成logN 。（由于对数在键盘中不好敲出来，所以我们通常省略2）。

补充时间复杂度例题：

// 计算阶乘递归Fac的时间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{
if(0 == N)
return 1;
return Fac(N-1)*N;
}

大家看到这串代码时一定有想骂街的冲动，但是有我在大家不用担心，我来为大家搞定它。

那么开始进入正题：

上面的代码是 N 的阶乘的原码，之前我的博客也写过，感兴趣的小伙伴可以去看看地址就放在这里了-用C语言实现阶乘的相加-CSDN博客。

这里我们就直接开始，我们先思考一个问题，阶乘调用了多少次函数？

老样子画图解释：

我们不断调用FAC从N次到N-1次再到N-2次...........直到0次

我们把它们相加起来就可以得到。

计算分析发现基本操作递归了N次，时间复杂度为O(N)。

我们再来看难度比较大的一道题：

// 计算斐波那契递归Fib的时间复杂度？
long long Fib(size_t N)
{
if(N < 3)
return 1;
return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}

斐波那契我们用简单的图片来理解一下

理解起来有点像细胞分化的意思。

那么问题来了，一共有多少次调用呢？有个简易的方法来看一下

我们观察最左边的数 2^0 2^1 2^2 2^3..........它们实际上是一个等比数列。

我们使用等比数列求和的方式求和. 这就用到了我们的高中知识。

通过计算分析发现基本操作递归了2^N次，时间复杂度为O(2^N)。

接下来为大家详解空间复杂度

空间复杂度

空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。
空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度类似，也使用大O渐进表示法。
注意：函数运行时所需要的栈空间(存储参数、局部变量、一些寄存器信息等)在编译期间已经确定好了，因此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定。

实例1：

// 计算BubbleSort的空间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
assert(a);
for (size_t end = n; end > 0; --end)
{
int exchange = 0;
for (size_t i = 1; i < end; ++i)
{
if (a[i-1] > a[i])
{
Swap(&a[i-1], &a[i]);
exchange = 1;
}
}
if (exchange == 0)
break;
}
}

结论：实例1使用了常数个额外空间，所以空间复杂度为 O(1)

解释：空间复杂度是我们一个算法在运行时额外（由于逻辑的需要）开辟的空间。

上述代码算法（排序过程）额外开辟的有 size_t end size_t i exchange它们开辟的空间都是常数，所以使用大O渐进法不难算出空间复杂度。 O(1)

如果大家对这道题有疑问的话我们再来看一道题，相信你的问题不在是问题了。

实例2：

// 计算Fibonacci的空间复杂度？
// 返回斐波那契数列的前n项
long long* Fibonacci(size_t n)
{
if(n==0)
return NULL;
long long * fibArray = (long long *)malloc((n+1) * sizeof(long long));
fibArray[0] = 0;
fibArray[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n ; ++i)
{
fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray [i - 2];
}
return fibArray;
}

我们观察在算法的运行中只动态开辟了（n+1）的空间。 ---------malloc((n+1)

那么我们使用大O渐进表示法：

动态开辟了N个空间，空间复杂度为 O(N)。

到这里我想大家对空间复杂度有了全新的理解了吧。

常见复杂度对比

一般算法常见的复杂度如下：