【洛谷 P9242】[蓝桥杯 2023 省 B] 接龙数列 题解（线性DP）

[蓝桥杯 2023 省 B] 接龙数列

题目描述

对于一个长度为 $K$ 的整数数列：$A_1,A_2,\dots ,A_K$，我们称之为接龙数列当且仅当 $A_i$ 的首位数字恰好等于 $A_{i-1}$ 的末位数字（$2\le i\le K$）。

例如 $12,23,35,56,61,11$ 是接龙数列；$12,23,34,56$ 不是接龙数列，因为 $56$ 的首位数字不等于 $34$ 的末位数字。所有长度为 $1$ 的整数数列都是接龙数列。

现在给定一个长度为 $N$ 的数列 $A_1,A_2,\dots ,A_N$，请你计算最少从中删除多少 个数，可以使剩下的序列是接龙序列？

输入格式

第一行包含一个整数 $N$。

第二行包含 $N$ 个整数 $A_1,A_2,\dots ,A_N$。

输出格式

一个整数代表答案。

样例 #1

样例输入 #1

5
11 121 22 12 2023

样例输出 #1

1

提示

【样例说明】

删除 $22$，剩余 $11,121,12,2023$ 是接龙数列。

【评测用例规模与约定】

对于 $20\%$ 的数据，$1\le N\le 20$。

对于 $50\%$ 的数据，$1\le N\le 10^4$。

对于 $100\%$ 的数据，$1\le N\le 10^5$，$1\le A_i\le 10^9$。所有 $A_i$ 保证不包含前导 0。

蓝桥杯 2023 省赛 B 组 E 题。

思路

首先定义一些变量。n是一个整数，表示输入的数列的长度。dp是一个数组，用于存储动态规划的结果，这里的dp数组存储的是以每个数字结尾的最长接龙序列的长度。

然后进入主函数。首先读取n的值。接着，使用一个循环，对于每一个输入的数，读取其值，并将其转换为字符串。然后获取该字符串的首位和末位数字，并更新dp数组。

状态转移方程：

$$dp[e]=\max (dp[e],dp[b]+1)$$

这里，$b$表示当前处理的数的首位数字，$e$表示末位数字，$dp[i]$表示以$i$结尾的最长接龙序列的长度。

这个状态转移方程表示，如果将当前处理的数接在以其首位数字结尾的最长接龙序列后面，可以得到一个新的以其末位数字结尾的接龙序列，其长度可能会比当前已知的以其末位数字结尾的最长接龙序列更长。因此，更新$dp[e]$为两者中的较大值。

对于每一个输入的数，都会检查其首位数字对应的最长接龙序列长度加一（因为该数可以接在该序列后面），与当前末位数字对应的最长接龙序列长度，取较大的一个作为新的末位数字对应的最长接龙序列长度。

最后，遍历dp数组，找到最长的接龙序列长度。通过总长度减去最长接龙序列长度得到需要删除的最小数量，输出n减去该长度，即为需要删除的最小数量。

AC代码

#include <algorithm>
#include <iostream>
#define mp make_pair
#define AUTHOR "HEX9CF"
using namespace std;
using ll = long long;

const int N = 1e6 + 7;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const ll MOD = 1e9 + 7;

int n;
// 以i结尾的最长接龙序列
ll dp[15];

int main() {
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);

	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		string s;
		cin >> s;
		int b = *s.begin() - '0';
		int e = *s.rbegin() - '0';
		dp[e] = max(dp[e], dp[b] + 1);
	}

	ll m = 0;
	for (int j = 0; j <= 9; j++) {
		m = max(m, dp[j]);
	}
	cout << n - m << "\n";
	return 0;
}