代码随想录算法训练营_day35

题目信息 01背包问题 二维

• 题目链接: https://kamacoder.com/problempage.php?pid=1046
• 题目描述:
  小明是一位科学家，他需要参加一场重要的国际科学大会，以展示自己的最新研究成果。他需要带一些研究材料，但是他的行李箱空间有限。这些研究材料包括实验设备、文献资料和实验样本等等，它们各自占据不同的空间，并且具有不同的价值。

小明的行李空间为 N，问小明应该如何抉择，才能携带最大价值的研究材料，每种研究材料只能选择一次，并且只有选与不选两种选择，不能进行切割。

解题思路 动态规划

1.这里我们需要再强化一下dp数组的含义才行，dp【i】【j】的意思就是在背包达到j重量的情况下，任取0-i中任意多个物品，所达到的最大价值

正式开始讲解背包问题！

对于面试的话，其实掌握01背包和完全背包，就够用了，最多可以再来一个多重背包。

如果这几种背包，分不清，我这里画了一个图，如下：

除此以外其他类型的背包，面试几乎不会问，都是竞赛级别的了，leetcode上连多重背包的题目都没有，所以题库也告诉我们，01背包和完全背包就够用了。

而完全背包又是也是01背包稍作变化而来，即：完全背包的物品数量是无限的。

所以背包问题的理论基础重中之重是01背包，一定要理解透！

leetcode上没有纯01背包的问题，都是01背包应用方面的题目，也就是需要转化为01背包问题。

所以我先通过纯01背包问题，把01背包原理讲清楚，后续再讲解leetcode题目的时候，重点就是讲解如何转化为01背包问题了。

之前可能有些录友已经可以熟练写出背包了，但只要把这个文章仔细看完，相信你会意外收获！

#01 背包

#二维dp数组01背包

for (int j = 0 ; j < weight[0]; j++) {  // 当然这一步，如果把dp数组预先初始化为0了，这一步就可以省略，但很多同学应该没有想清楚这一点。
    dp[0][j] = 0;
}
// 正序遍历
for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {
    dp[0][j] = value[0];
}

// 初始化 dp
vector<vector<int>> dp(weight.size(), vector<int>(bagweight + 1, 0));
for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {
    dp[0][j] = value[0];
}

// weight数组的大小 就是物品个数
for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
    for(int j = 0; j <= bagweight; j++) { // 遍历背包容量
        if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
        else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

    }
}

// weight数组的大小 就是物品个数
for(int j = 0; j <= bagweight; j++) { // 遍历背包容量
    for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
        if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
        else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
    }
}

代码实现

    public static void main(String[] args) {  
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);  
        int n = scanner.nextInt();  
        int bagweight = scanner.nextInt();// bagweight代表行李箱空间  
  
        int[] weight = new int[n];// 存储每件物品所占空间  
        int[] value = new int[n];// 存储每件物品价值  
  
        for (int i = 0; i < n; ++i) {  
            weight[i] = scanner.nextInt();  
        }  
        for (int j = 0; j < n; ++j) {  
            value[j] = scanner.nextInt();  
        }  
        // dp数组, dp[i][j]代表行李箱空间为j的情况下,从下标为[0, i]的物品里面任意取,能达到的最大价值  
        int[][] dp = new int[n][bagweight + 1];  
  
        // 初始化, 因为需要用到dp[i - 1]的值  
        // j < weight[0]已在上方被初始化为0  
        // j >= weight[0]的值就初始化为value[0]  
        for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {  
            dp[0][j] = value[0];  
        }  
  
        for (int i = 1; i < n; i++) {// 遍历科研物品  
            for (int j = 0; j <= bagweight; j++) {// 遍历行李箱容量  
                if (j < weight[i]) {  
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j];// 如果装不下这个物品,那么就继承dp[i - 1][j]的值  
                } else {  
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);  
                }  
            }  
        }  
        System.out.println(dp[n - 1][bagweight]);  
    }

解法二: {{一维dp数组（滚动数组）}}

解题思路

对于背包问题其实状态都是可以压缩的。

在使用二维数组的时候，递推公式：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

其实可以发现如果把dp[i - 1]那一层拷贝到dp[i]上，表达式完全可以是：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);

与其把dp[i - 1]这一层拷贝到dp[i]上，不如只用一个一维数组了，只用dp[j]（一维数组，也可以理解是一个滚动数组）。

这就是滚动数组的由来，需要满足的条件是上一层可以重复利用，直接拷贝到当前层。

读到这里估计大家都忘了 dp[i][j]里的i和j表达的是什么了，i是物品，j是背包容量。

dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。

一定要时刻记住这里i和j的含义，要不然很容易看懵了。

动规五部曲分析如下：

1. 确定dp数组的定义

关于dp数组的定义，我在 01背包理论基础 (opens new window)有详细讲解

在一维dp数组中，dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]。

2. 一维dp数组的递推公式

二维dp数组的递推公式为： dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

公式是怎么来的 在这里 01背包理论基础 (opens new window)有详细讲解。

一维dp数组，其实就上上一层 dp[i-1] 这一层 拷贝的 dp[i]来。

所以在 上面递推公式的基础上，去掉i这个维度就好。

递推公式为：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

以下为分析：

dp[j]为 容量为j的背包所背的最大价值。

dp[j]可以通过dp[j - weight[i]]推导出来，dp[j - weight[i]]表示容量为j - weight[i]的背包所背的最大价值。

dp[j - weight[i]] + value[i] 表示 容量为 [j - 物品i重量] 的背包 加上 物品i的价值。（也就是容量为j的背包，放入物品i了之后的价值即：dp[j]）

此时dp[j]有两个选择，一个是取自己dp[j] 相当于 二维dp数组中的dp[i-1][j]，即不放物品i，一个是取dp[j - weight[i]] + value[i]，即放物品i，指定是取最大的，毕竟是求最大价值，

所以递归公式为：

dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

可以看出相对于二维dp数组的写法，就是把dp[i][j]中i的维度去掉了。

3. 一维dp数组如何初始化

关于初始化，一定要和dp数组的定义吻合，否则到递推公式的时候就会越来越乱。

dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]，那么dp[0]就应该是0，因为背包容量为0所背的物品的最大价值就是0。

那么dp数组除了下标0的位置，初始为0，其他下标应该初始化多少呢？

看一下递归公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

dp数组在推导的时候一定是取价值最大的数，如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了。

这样才能让dp数组在递归公式的过程中取的最大的价值，而不是被初始值覆盖了。

那么我假设物品价值都是大于0的，所以dp数组初始化的时候，都初始为0就可以了。

4. 一维dp数组遍历顺序

代码如下：

for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
    for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

    }
}

这里大家发现和二维dp的写法中，遍历背包的顺序是不一样的！

二维dp遍历的时候，背包容量是从小到大，而一维dp遍历的时候，背包是从大到小。

为什么呢？

倒序遍历是为了保证物品i只被放入一次！。但如果一旦正序遍历了，那么物品0就会被重复加入多次！

举一个例子：物品0的重量weight[0] = 1，价值value[0] = 15

如果正序遍历

dp[1] = dp[1 - weight[0]] + value[0] = 15

dp[2] = dp[2 - weight[0]] + value[0] = 30

此时dp[2]就已经是30了，意味着物品0，被放入了两次，所以不能正序遍历。

为什么倒序遍历，就可以保证物品只放入一次呢？

倒序就是先算dp[2]

dp[2] = dp[2 - weight[0]] + value[0] = 15 （dp数组已经都初始化为0）

dp[1] = dp[1 - weight[0]] + value[0] = 15

所以从后往前循环，每次取得状态不会和之前取得状态重合，这样每种物品就只取一次了。

那么问题又来了，为什么二维dp数组遍历的时候不用倒序呢？

因为对于二维dp，dp[i][j]都是通过上一层即dp[i - 1][j]计算而来，本层的dp[i][j]并不会被覆盖！

（如何这里读不懂，大家就要动手试一试了，空想还是不靠谱的，实践出真知！）

再来看看两个嵌套for循环的顺序，代码中是先遍历物品嵌套遍历背包容量，那可不可以先遍历背包容量嵌套遍历物品呢？

不可以！

因为一维dp的写法，背包容量一定是要倒序遍历（原因上面已经讲了），如果遍历背包容量放在上一层，那么每个dp[j]就只会放入一个物品，即：背包里只放入了一个物品。

所以一维dp数组的背包在遍历顺序上和二维其实是有很大差异的！，这一点大家一定要注意。

5. 举例推导dp数组

一维dp，分别用物品0，物品1，物品2 来遍历背包，最终得到结果如下：

代码实现

public class Knapsack {  
    public static void main(String[] args) {  
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);  
        int n = scanner.nextInt();  // 物品数量  
        int bagweight = scanner.nextInt();  // 行李箱空间  
  
        int[] weight = new int[n];  // 存储每件物品所占空间  
        int[] value = new int[n];  // 存储每件物品价值  
  
        for (int i = 0; i < n; i++) {  
            weight[i] = scanner.nextInt();  
        }  
        for (int j = 0; j < n; j++) {  
            value[j] = scanner.nextInt();  
        }  
  
        // 创建一个动态规划数组dp，初始值为0  
        int[] dp = new int[bagweight + 1];  
  
        // 外层循环遍历每件物品  
        for (int i = 0; i < n; i++) {  
            // 内层循环从行李箱容量逐渐减少到当前物品的重量  
            for (int j = bagweight; j >= weight[i]; j--) {  
                // 更新dp[j]，考虑选择和不选择当前物品的情况，取最大值  
                dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);  
            }  
        }  
  
        // 输出dp[bagweight]，即在给定行李空间下可以携带的物品的最大价值  
        System.out.println(dp[bagweight]);  
  
        scanner.close();  
    }  
}

题目信息 416. 分割等和子集

解题思路

这道题目初步看，和如下两题几乎是一样的，大家可以用回溯法，解决如下两题

• 698.划分为k个相等的子集
• 473.火柴拼正方形

这道题目是要找是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

那么只要找到集合里能够出现 sum / 2 的子集总和，就算是可以分割成两个相同元素和子集了。

本题是可以用回溯暴力搜索出所有答案的，但最后超时了，也不想再优化了，放弃回溯，直接上01背包吧。

如果对01背包不够了解，建议仔细看完如下两篇：

• 动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！(opens new window)
• 动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组）(opens new window)

#01背包问题

// 题目中说：每个数组中的元素不会超过 100，数组的大小不会超过 200
// 总和不会大于20000，背包最大只需要其中一半，所以10001大小就可以了
vector<int> dp(10001, 0);

// 开始 01背包
for(int i = 0; i < nums.size(); i++) {
    for(int j = target; j >= nums[i]; j--) { // 每一个元素一定是不可重复放入，所以从大到小遍历
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
    }
}

代码实现 一维数组版本：

public boolean canPartition(int[] nums) {  
    if(nums == null || nums.length == 0) return false;  
    int n = nums.length;  
    int sum = 0;  
    for(int num : nums) {  
        sum += num;  
    }  
    //总和为奇数，不能平分  
    if(sum % 2 != 0) return false;  
    int target = sum / 2;  
    int[] dp = new int[target + 1];  
    for(int i = 0; i < n; i++) {  
        for(int j = target; j >= nums[i]; j--) {  
            //物品 i 的重量是 nums[i]，其价值也是 nums[i]            dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);  
        }  
  
        //剪枝一下，每一次完成內層的for-loop，立即檢查是否dp[target] == target，優化時間複雜度（26ms -> 20ms）  
        if(dp[target] == target)  
            return true;  
    }  
    return dp[target] == target;  
}

代码实现 二维数组版本（易于理解）：

public static boolean canPartition(int[] nums) {  
    int len = nums.length;  
    // 题目已经说非空数组，可以不做非空判断  
    int sum = 0;  
    for (int num : nums) {  
        sum += num;  
    }  
    // 特判：如果是奇数，就不符合要求  
    if ((sum %2 ) != 0) {  
        return false;  
    }  
  
    int target = sum / 2; //目标背包容量  
    // 创建二维状态数组，行：物品索引，列：容量（包括 0）  
    /*  
    dp[i][j]表示从数组的 [0, i] 这个子区间内挑选一些正整数  
      每个数只能用一次，使得这些数的和恰好等于 j。  
    */    boolean[][] dp = new boolean[len][target + 1];  
  
    // 先填表格第 0 行，第 1 个数只能让容积为它自己的背包恰好装满  （这里的dp[][]数组的含义就是“恰好”，所以就算容积比它大的也不要）  
    if (nums[0] <= target) {  
        dp[0][nums[0]] = true;  
    }  
    // 再填表格后面几行  
    //外层遍历物品  
    for (int i = 1; i < len; i++) {  
        //内层遍历背包  
        for (int j = 0; j <= target; j++) {  
            // 直接从上一行先把结果抄下来，然后再修正  
            dp[i][j] = dp[i - 1][j];  
  
            //如果某个物品单独的重量恰好就等于背包的重量，那么也是满足dp数组的定义的  
            if (nums[i] == j) {  
                dp[i][j] = true;  
                continue;            }  
            //如果某个物品的重量小于j，那就可以看该物品是否放入背包  
            //dp[i - 1][j]表示该物品不放入背包，如果在 [0, i - 1] 这个子区间内已经有一部分元素，使得它们的和为 j ，那么 dp[i][j] = true；  
            //dp[i - 1][j - nums[i]]表示该物品放入背包。如果在 [0, i - 1] 这个子区间内就得找到一部分元素，使得它们的和为 j - nums[i]。  
            if (nums[i] < j) {  
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] || dp[i - 1][j - nums[i]];  
            }  
        }  
    }  
    for (int i = 0; i < len; i++) {  
        for (int j = 0; j <= target; j++) {  
            System.out.print(dp[i][j]+" ");  
        }  
        System.out.println();  
    }  
    return dp[len - 1][target];  
}