【Leetcode152】乘积最大子数组（动态规划）

一、题目

二、思路

（0）读懂题意：题目的“连续”是指位置的连续，而不是说数字的连续，这是个大坑。

（1）确定状态：定义两个状态来记录当前子数组的最大乘积、最小乘积。因为在处理负数时，最小乘积乘以负数可能变为最大乘积。dp_max[i]表示以nums[i]结尾的子数组的最大乘积、dp_min[i]表示以nums[i]结尾的子数组的最小乘积。

（2）状态转移方程：对于每个元素nums[i]，我们的dp_max[i]和dp_min[i]可以从这三个数中确定：

• 只包含当前元素 nums[i]。
• 当前元素与之前的最大乘积子数组乘积，即 dp_max[i-1] * nums[i]。
• 当前元素与之前的最小乘积子数组乘积，即 dp_min[i-1] * nums[i]。

即状态转移方程可表示为：

dp_max[i] = max(nums[i], dp_max[i-1] * nums[i], dp_min[i-1] * nums[i])
dp_min[i] = min(nums[i], dp_max[i-1] * nums[i], dp_min[i-1] * nums[i])

（3）初始状态+边界条件：以第一个元素结尾的子数组最大乘积就是它本身、以第一个元素结尾的子数组最小乘积就是它本身、初始乘积最大结果为第一个元素。

（4）遍历顺序：从左到右遍历数组。

三、代码

（方法一）按照思路的代码如下，时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(n)。

class Solution(object):
    def maxProduct(self, nums):
        """
        :type nums: List[int]
        :rtype: int
        """
        if len(nums) == 0:
            return 0
        if len(nums) == 1:
            return nums[0]
        # 初始化数组
        n = len(nums)
        dp_max = [0] * n 
        dp_min = [0] * n
        # 初始状态
        dp_max[0] = nums[0]
        dp_min[0] = nums[0]
        cheng_ans = nums[0]
        # 从第二个元素开始遍历
        for i in range(1, n):
            num = nums[i]
            dp_max[i] = max(num, dp_max[i-1]*num, dp_min[i-1]*num)
            dp_min[i] = min(num, dp_max[i-1]*num, dp_min[i-1]*num)
            cheng_ans = max(cheng_ans, dp_max[i])
        return cheng_ans

（方法二）为了优化空间复杂度，发现每次当前只利用前一次状态，所以dp_max和dp_min没必要单独用两个数组记录所有的状态。但注意在计算状态转移方程时，分别计算dp_max和dp_min都会用到上一次的dp_max和dp_min，这为了用错dp_mxn，可以直接对num确保是正数后，交换dp_max和dp_min的位置，减少max和min函数的入参个数。

class Solution(object):
    def maxProduct(self, nums):
        """
        :type nums: List[int]
        :rtype: int
        """
        if len(nums) == 0:
            return 0
        if len(nums) == 1:
            return nums[0]
        # 初始化数组
        n = len(nums)
        # 初始状态
        dp_max = nums[0]
        dp_min = nums[0]
        cheng_ans = nums[0]
        # 从第二个元素开始遍历
        for i in range(1, n):
            num = nums[i]
            if num < 0:
                dp_max, dp_min = dp_min, dp_max
            dp_max = max(num, dp_max*num)
            dp_min = min(num, dp_min*num)
            cheng_ans = max(cheng_ans, dp_max)
        return cheng_ans