[图论]街道赛跑

题目描述

图一表示一次街道赛跑的跑道。可以看出有一些路口（用 $0$ 到 $N$ 的整数标号），和连接这些路口的箭头。路口 $0$ 是跑道的起点，路口 $N$ 是跑道的终点。箭头表示单行道。运动员们可以顺着街道从一个路口移动到另一个路口（只能按照箭头所指的方向）。当运动员处于路口位置时，他可以选择任意一条由这个路口引出的街道。

图一：有 10 个路口的街道
一个良好的跑道具有如下几个特点：
1.每一个路口都可以由起点到达。
2.从任意一个路口都可以到达终点。
3.终点不通往任何路口。

运动员不必经过所有的路口来完成比赛。有些路口却是选择任意一条路线都必须到达的（称为“不可避免”的）。在上面的例子中，这些路口是 $0，3，6，9$ 。对于给出的良好的跑道，你的程序要确定“不可避免”的路口的集合，不包括起点和终点。

假设比赛要分两天进行。为了达到这个目的，原来的跑道必须分为两个跑道，每天使用一个跑道。第一天，起点为路口 $0$ ，终点为一个“中间路口”；第二天，起点是那个中间路口，而终点为路口 $N$ 。对于给出的良好的跑道，你的程序要确定“中间路口”的集合。如果良好的跑道 $C$ 可以被路口 $S$ 分成两部分，这两部分都是良好的，并且 $S$ 不同于起点也不同于终点，同时被分割的两个部分满足下列条件：
（1）它们之间没有共同的街道
（2）$S$ 为它们唯一的公共点，并且 $S$ 作为其中一个的终点和另外一个的起点。那么我们称 $S$ 为“中间路口 ”。在例子中只有路口 $3$ 是中间路口。

输入格式

输入文件包括一个良好的跑道，最多有 $50$ 个路口，$100$ 条单行道。
一共有 $N+2$ 行，前面 $N+1$ 行中第 $i$ 行表示以 $i-1$ 为起点的街道，每个数字表示一个终点。行末用 $-2$ 作为结束。
最后一行只有一个数字 $-1$。

输出格式

你的程序要有两行输出：
第一行包括：跑道中“不可避免的”路口的数量，接着是这些路口的序号，序号按照升序排列。
第二行包括：跑道中“中间路口”的数量，接着是这些路口的序号，序号按照升序排列。

样例

样例输入1

1 2 -2
3 -2
3 -2
5 4 -2
6 4 -2
6 -2
7 8 -2
9 -2
5 9 -2
-2
-1

样例输出1

2 3 6
1 3

题解

1

关于第 $1$ 问，求不可避免的点，即去掉该点后不能从起点到终点。
故可以依次枚举每个点，去掉该点后从 $0$ 进行 dfs，如果不能到终点 $N$，该点就是不可避免的点。

void dfs(int x){
	if(x == n){//能走到 n
		fl = 1;
		return;
	}
	if(fl){
		return;
	}
	//遍历 i 连接的边
	for(auto i : v[x]){
		if(!f[i]){
			f[i] = 1;
			dfs(i);
			f[i] = 0;
		}
	} 
}
for(int i = 1; i < n; ++ i){
	//fl 标记能不能到终点
	fl = 0;
	//标记 dfs 中走没走到某点的数组
	memset(f, 0, sizeof(f));
	//将 i 标记为 1，相当于把 i 删掉
	f[i] = 1;
	f[0] = 1;
	dfs(0);
	//不可避免的点
	if(fl == 0){
		q[++ l] = i;
	}
}

2

关于第 $2$ 问，求中间路口。

如果第 $i$ 个点是中间路口，就必须保证第 $i$ 个点是不可避免的点。如果第 $i$ 个点不是不可避免的点，那么一定存在至少一条路径能直接从 $0$ 到 $n$。

问题变为了如何求两部分间是否有共同的街道。

先把第 $i$ 个点堵上，从 $0$ 开始 dfs，将所有能走到的点标记为 $1$，即第 $1$ 天能到的点。
再从第 $i$ 个点进行遍历，如果当前走到的点已经标记为 $1$ 了，则该点不为中间路口。

void dfs1(int x){
	//标记遍历的点
	f[x] = 1;
	f1[x] = 1;
	for(auto i : v[x]){
		if(!f[i]){
			dfs1(i);
		}
	} 
	f[x] = 0;
}
int fl2 = 1;
void dfs2(int x){
	//碰到标记的点
	if(f1[x] == 1){
		fl2 = 0;
		return;
	}
	if(!fl2){
		return;
	}
	//标记为 2
	f1[x] = 2;
	f[x] = 1;
	for(auto i : v[x]){
		if(!f[i]){
			dfs2(i);
		}
	} 
	f[x] = 0;
}
for(int i = 1; i <= l; ++ i){
	//清空
	fl2 = 1;
	memset(f, 0, sizeof(f));
	memset(f1, 0, sizeof(f1));
	f1[q[i]] = 2;
	f[q[i]] = 1; 
	f[0] = 1;
	dfs1(0);
	memset(f, 0, sizeof(f));
	dfs2(q[i]);
	//中间路口
	if(fl2){
		q2.push(q[i]);
	}
}

综上，我们就可以得到代码了。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
vector<int> v[60];//存图
dfs;
dfs1;
dfs2;
int main(){
	for(n = 0; ; ++ n){
		bool p = 0;
		int g;
		while(scanf("%d", &g) != EOF){
			if(g == -2){
				break;
			}
			if(g == -1){
				p = 1;
				break;
			}
			v[n].push_back(g);
		}
		if(p){
			break; 
		} 
	}
	-- n;
	# 1
	输出 q
	# 2
	输出 q2
	return 0;
}

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