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为什么矩阵特征值之和等于主对角线元素之和，特征值乘积等于行列式值

article 2024/9/21 21:58:32

首先给出特征值和特征向量的定义。

设A是n阶矩阵，如果数λ和n维非零向量x使关系式

Ax=λx （1）

成立，那么数λ称为方阵A的特征值，非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量。

（1）式也可写成

（A-λE）x=0 （2）

这是n个方程n个未知数的线性方程组，他有非零解的充要条件是系数行列式

|A-λE|=0 （3）

即

其左端|A-λE|是关于λ的n次多项式，记做f(λ),称为方阵A的特征多项式。

$f(\lambda )=(\lambda _{1}-\lambda )*(\lambda _{2}-\lambda )*...*(\lambda _{n}-\lambda )=c_{n}\lambda ^{n }+c_{n-1}\lambda ^{n-1 }+...+c_{1}\lambda +c_{0}$

证明对角线元素之和为矩阵的迹（特征值之和）：

由特征多项式知， $\lambda_{}^{n-1}$ 的系数为 $(\lambda _{1}+\lambda _{2}+...+\lambda _{n})*(-1)^{n-1}$

由行列式知，其n！的项中只有主对角线连乘这一项中包含 $\lambda_{}^{n-1}$ ， $\lambda_{}^{n-1}$ 的系数为 $(a_{11}+a _{22}+...+a_{nn})*(-1)^{n-1}$ ，证毕。

证明特征值之积为行列式的值：

由特征多项式知， $\lambda _{1}*\lambda _{2}*...*\lambda _{n}$ 为不含 $\lambda$ 的常数项。

将行列式中 $\lambda$ =0，可得出常数项为|A|，证毕。

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证明特征值之积为行列式的值：​

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