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Java-数据结构-二叉树-基础 (oﾟ▽ﾟ)o

article 2024/9/25 21:27:11

文本目录：

❄️一、树形结构：

▶ 1、概念：

▶ 2、特殊的概念：

▶ 3、树的表示形式：

❄️二、二叉树：

▶ 1、概念：

▶ 2、两种特殊的二叉树：

➷ 1）、满二叉树：

➷ 2）、完全二叉树：

▶ 3、二叉树的性质：

➷ 1）性质一：

➷ 2）性质二：

➷ 3）性质三：

编辑

➷ 4）性质四：

➷ 5）性质五：

▶ 4、二叉树的存储：

▶ 5、二叉树的基本操作：

➷ 1）、二叉树的创建：

➷ 2）、二叉树的遍历：

•（1）、前中后序遍历：

•（2）、层序遍历：

➷ 3）、二叉树的基本操作：

•（1）、size(Node root)：

•（2）、getLeafNodeCount(Node root)：

•（3）、getKLevelNodeCount(Node root,int k)：

•（4）、getHeight(Node root)：

•（5）、find(Node root,char val)：

•（6）、isCompleteTree(Node root)：

❄️总结：

❄️一、树形结构：

在我们介绍二叉树之前呢，我们先来了解一下什么是树形结构。

▶ 1、概念：

树是一种 非线性的数据结构 ，其是由 n 个有限节点组成的一个具有层次关系的集合。其结构呢就像是一个倒挂着的一颗树，所以我们称之为树。

特点：1、有一个特殊的节点，称为根节点，并且根节点没有前驱节点。

2、除了根节点外，其余节点被分为 M 个互不相交的集合，其中呢每一个集合都是一颗与树相似的子树，每个子树的根节点有且只有一个前驱，其中可以有0个或者多个后继结点。

3、我们的树是递归实现的。

4、一颗有N个节点的树，有N - 1 条边。

这里要注意：树形结构中呢，我们的子树之间不能有交集，否则就不是树形结构了。

▶ 2、特殊的概念：

我们先来看个树形结构的图片：

☑ 结点的度：一个结点含有子树的个数称之为该结点的度。比如：上图中 A 的度为 6 。

☑ 树的度：一棵树中，所有结点的度的最大值称之为树的度。比如：我们上图的树的度为 6

☑ 叶子结点或终端结点：度为 0 的结点称之为叶子结点。比如：我们上图的B、C、H、I、K....等

☑ 双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个节点称之为其子结点的父结点。比如：我们上图的 A 是 B 的父结点。

☑ 孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点。比如：B是A的孩子结点

☑ 根结点：一棵树中没有双亲结点的结点。比如：A结点

☑ 结点的层次：从根结点开始定义起，根为第一层1，根的子结点为第2层，以此类推。

☑ 树的高度或者深度：树中结点的最大层次。比如：上图中树的高度为 4

接下来的概念呢，我们只需要了解即可：

☒ 非终端结点或分支结点：度不为 0 的结点。比如：A、D、E、F、G....等

☒ 兄弟结点：具有相同父结点的结点互相称之为兄弟结点。比如：B、C就是兄弟结点

☒ 堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟。比如：H、I 就是堂兄弟

☒ 结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点。比如：Q 的祖先就是J、E、A

☒ 子孙：以结点为根的子树中任意结点都称之为该结点的子孙。比如：所有结点都是A的子孙

☒ 森林：由m 棵互不相交的树组成的就是森林。

▶ 3、树的表示形式：

树结构呢，相对于线性结构呢就比较复杂了，我们存储表示起来就比较麻烦了。我们对于树有很多的表示形式，比如：双亲表示法、孩子表示法、孩子双亲表示法、孩子兄弟表示法。

我们来了解一下我们最常用的表示方法：孩子兄弟表示法。

class Node {
   int val;
   Node firstChild;//第一个孩子引用
   Node nextBrother;//下一个兄弟引用
}

这个呢就是我们的孩子兄弟表示法。

❄️二、二叉树：

▶ 1、概念：

一颗二叉树是结点的一个有限集合，这个集合呢：

1、或者为空

2、或者是由一颗根结点加上两个子树，分别为左子树和右子树所构成的。

我们来看看二叉树的图片：

从上面的图片可知：1、二叉树不存在结点大于2的情况。

2、二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，所以二叉树是有序的。

注意：我们二叉树可能出现几种情况：

▶ 2、两种特殊的二叉树：

➷ 1）、满二叉树：

一颗二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这颗二叉树就是满二叉树。

就是 如果一颗二叉树的结点为 k，并且结点总数为 2^k - 1 个结点，则其就是满二叉树。

➷ 2）、完全二叉树：

完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应时称之为完全二叉树。

这样看文字可能不是很看懂，我们来看图片：
完全二叉树的存放顺序为：从上到下，从左到右，依次存放。

▶ 3、二叉树的性质：

➷ 1）性质一：

若规定根结点的层数为1，则一颗非空二叉树的第 i 层上最多有 2^(i - 1) 个结点。

➷ 2）性质二：

若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为 k 的二叉树的最大结点数为 2^k - 1

➷ 3）性质三：

对于任意的一颗二叉树，如果其叶子结点个数为n0，度为2的非叶子结点数为n2，则有n0 = n2 + 1

➷ 4）性质四：

具有 n 个结点的完全二叉树的深度k 为 log(n+1) 向上取整，这里的 log是以2为底的。

➷ 5）性质五：

对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照 从上至下从左至右 的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为 i 的结点有：

☞ 若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点

☞ 若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子

☞ 若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子

▶ 4、二叉树的存储：

二叉树的存储解构呢，分为：顺序存储 和 链式存储。

我们先来看链式存储：是通过一个一个结点引用起来的，我们常见的有二叉和三叉表示形式。

//二叉
class Node {
    int val;//数据域
    Node left;//左孩子引用
    Node right;//右孩子引用
}

//三叉
class Node {
    int val;//数据域
    Node left;//左孩子引用
    Node right;//右孩子引用
    Node parent;//当前结点的根结点
}

▶ 5、二叉树的基本操作：

➷ 1）、二叉树的创建：

我们这里呢只是进行简单的创建，手动的进行创建一个二叉树，之后我们再来写其操作，等到后面我们再来进行二叉树的真正的创建方法。

我们来手动创建这个二叉树，我们使用二叉的方式来进行创建。

public class BinaryTree {

    static class TreeNode {
        public char val;
        public TreeNode right;
        public TreeNode left;

        public TreeNode(char val) {
            this.val = val;
        }
    }
    public TreeNode createTree() {
        TreeNode A = new TreeNode('A');
        TreeNode B = new TreeNode('B');
        TreeNode C = new TreeNode('C');
        TreeNode D = new TreeNode('D');
        TreeNode E = new TreeNode('E');
        TreeNode F = new TreeNode('F');
        TreeNode G = new TreeNode('G');

        A.left = B;
        A.right = C;
        B.left = D;
        B.right = E;
        C.left = F;
        C.right = G;
        return A;
    }
}

这样我们就把这个二叉树创建成功了，注意这里的二叉树创建不是真正的二叉树的创建。我们接下来看看二叉树的操作：

➷ 2）、二叉树的遍历：

对于我们的二叉树操作呢，最简单的就是遍历操作了，所谓的遍历：就是沿着某条搜索路线，依次对树中每个结点均做一次访问且只做一次访问。

•（1）、前中后序遍历：

我们在前中后序遍历中使用递归的方法进行遍历。

前序遍历：先访问根结点，之后访问根的左子树，最后根的右子树。

//前序遍历
    public void preOrder(TreeNode root) {
        if (root == null) {
            return;
        }
        System.out.print(root.val + " ");
        preOrder(root.left);
        preOrder(root.right);
    }

中序遍历：先访问根的左子树，之后访问根结点，最后为根的右子树。

//中序遍历
    public void inOrder(TreeNode root) {
        if (root == null) {
            return;
        }
        inOrder(root.left);
        System.out.print(root.val + " ");
        inOrder(root.right);
    }

后序遍历：先访问根的左子树，之后访问根的右子树，最后访问根结点。

//后序遍历
    public void postOrder(TreeNode root) {
        if (root == null) {
            return;
        }

        postOrder(root.left);
        postOrder(root.right);
        System.out.print(root.val + " ");
    }

我们来看这些遍历的运行结果，我们遍历的就是我们上面创建的二叉树。

•（2）、层序遍历：

我们除了前中后序遍历呢，我们还有层序遍历，就是先访问第一层的根结点，之后从上到下，从左到右依次访问结点，就是层序遍历。

比如我们创建的这个二叉树的层序遍历为：

A->B->C->D->E->F->G。

这里我们层序遍历，我们需要使用队列来配合实现，那么它是怎么做到的呢？我们来看看：

来看看代码：

//层序遍历
    public void levelOrder(TreeNode root) {
        if (root == null) {
            return;
        }
        Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
        queue.offer(root);

        while(!queue.isEmpty()) {
            TreeNode cur = queue.poll();
            System.out.print(cur.val + " ");

            if (cur.left != null) {
                queue.offer(cur.left);
            }
            if (cur.right != null) {
                queue.offer(cur.right);
            }
        }
    }

➷ 3）、二叉树的基本操作：

•（1）、size(Node root)：

获得树中结点的个数。

我们有两种方法，我们第一种就是遍历二叉树，当 root 不为空的时候呢，我们的 usedSize 就++

第二种方法就是我们的 左子树结点+右子树结点+1，这个方法来求结点的个数。

我们来看第一种方法的代码：

//返回总结点的个数
    public static int usedSize;//我们用于存放结点个数的
    public int size1(TreeNode root) {
        if (root == null) {
            return 0;
        }
        
        usedSize++;
        size1(root.left);//遍历左子树
        size1(root.right);//遍历右子树
        
        return usedSize;
    }

在我们第一种方法中呢，我们的 usedSize 必须在方法的外面定义，因为要是在方法中的话呢，每次我们递归后，我们之前存放的结点的个数就不会保存了，所以我们要定义在外面。

我们来看看第二种方法：

代码：

public int size2(TreeNode root) {
        if (root == null) {
            return 0;
        }

        return size2(root.left) + size2(root.right) + 1;
    }

•（2）、getLeafNodeCount(Node root)：

获得叶子结点的个数。

我们这个同样可以使用两种方法来进行获得叶子结点的个数。第一种：使用 leafSize 来计数，当遇到左子树和右子树都为空的结点就是叶子结点。

第二种：左子树的叶子+右子树的叶子。

我们的这个方法和上面的方法是差不多的，所以这里我们直接看代码。

第一种：

//获得叶子结点的个数
    //第一种
    public static int leafSize;
    public int getLeafNodeCount1(TreeNode root) {
        if (root == null) {
            return 0;
        }

        if (root.left == null && root.right == null) {
            leafSize++;
        }
        
        getLeafNodeCount1(root.left);
        getLeafNodeCount1(root.right);
        
        return leafSize;
    }

第二种：

//第二种
    public int getLeafNodeCount2(TreeNode root) {
        if (root == null) {
            return 0;
        }
        if (root.left == null && root.right == null) {
            return 1;
        }
        
        return getLeafNodeCount2(root.left) + getLeafNodeCount2(root.right);
    }

•（3）、getKLevelNodeCount(Node root,int k)：

获得第k层的结点的个数。

我们求第k层的结点数呢，我们求 root的左子树的k-1层的结点 + root的右子树的k-1层的结点

这样求出来的就是我们的第k层结点数。我们来看看思路图：

我们来看代码的实现：

//获得第k层的结点的个数。
    public int getKLevelNodeCount(TreeNode root,int k) {
        if (root == null) {
            return 0;
        }
        if (k == 1) {
            return 1;
        }
        
        return getKLevelNodeCount(root.left,k-1) + getKLevelNodeCount(root.right,k-1);
    }

•（4）、getHeight(Node root)：

获得二叉树的高度。

我们需要求 左树的高度和右子树的高度的最大值 + 1。在这里我们求左子树的高度和右子树的高度。我们也是使用递归的方法。

代码：

//获取二叉树的高度
    public int getHeight(TreeNode root) {
        if (root == null) {
            return 0;
        }
        int leftHeight = getHeight(root.left);
        int rightHeight = getHeight(root.right);
        
        //谁高谁加一
        return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
    }

•（5）、find(Node root,char val)：

查看二叉树中有没有val这个值的结点。

这个方法呢，就是我们需要遍历一遍二叉树就可以了。

我们需要先判断我们的根是不是，如果不是，就去左子树中找，如果还没有，就从右子树中找，如果这里面都没有的话，那么就返回null。

//检测值为value的元素是否存在
    public TreeNode find(TreeNode root,char val) {
        if (root == null) {
            return null;
        }
        //先判断根结点
        if (root.val == val) {
            return root;
        }
        //如果不是就去左子树中寻找
        TreeNode leftNode = find(root.left,val);
        if (leftNode != null) {
            //如果我们在左子树中找到的话，我们在上面根的判断就返回了我们和val相等的结点，
            //在这里我们只需要判断是否为空就可以了，不为空，就是val的这个结点，反之则没有
            return leftNode;
        }
        //去右子树中寻找
        TreeNode rightNode = find(root.right,val);
        if (rightNode != null) {
            //我们这里同上
            return rightNode;
        }
        
        return null;
    }

•（6）、isCompleteTree(Node root)：

判断该二叉树是否是完全二叉树。

这个方法呢，我们也需要借助队列来实现，这个步骤和我们的层序遍历是差不多的，但是如果我们队列中两个结点中存在 null 的话，那么就不是完全二叉树。因为完全二叉树是从上到下从左到右依次存放，两个相邻的结点中间不可能会存在 null 。我们利用这个性质就可以判断出是否是完全二叉树了。我们来看思路图：

这里我们要注意的是，当我们的root为空的时候，也是完全二叉树。

我们来看代码：

//判断一棵树是不是完全二叉树
    public boolean isCompleteTree(TreeNode root) {
        if (root == null) {
            return true;
        }

        Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
        queue.offer(root);

        while(!queue.isEmpty()) {
            TreeNode cur = queue.poll();
            if (cur != null) {
                queue.offer(cur.left);
                queue.offer(cur.right);
            }else {
                break;
            }
        }
        
        while(!queue.isEmpty()) {
            TreeNode peek = queue.peek();
            if (peek != null) {
                return false;
            }
            queue.poll();
        }
        
        return true;
    }