傅里叶变换及其应用笔记

预备知识

学习路线

从傅里叶级数，过度到傅里叶变换

扼要描述

傅里叶级数（Fourier series），几乎等同于周期性现象的学习
傅里叶变化（Fourier transform），可作为傅里叶级数的极限情况，是对非周期现象的数学分析。

两者之间的共同点：

分析（analysis），分解一个信号（函数），把它拆分成一系列组成部分，并希望这些组成部分比复杂信号（函数）简单
合成（synthesis），把基本的组成部分重组成信号本身。
分析与合成总是成对出现，我们把复杂的信号分离成简单信号，然后进行我们需要的处理，最后再组合成原始信号。

线性运算

傅里叶分析和合成是由线性运算完成的，线性运算包含有积分和序列。傅里叶分析经常被认为是线性分析的一部分。

周期性现象

周期性现象有两种：
时间上的周期性
空间上的周期性

对称性与周期性的关系

例：圆环上的热量分布：

这个例子认为温度不受时间影响，温度与圆环的位置有关。
我们从圆环上的某点A测试圆环的温度，然后沿着顺时针方向一直测试，最终又会回到A点继续顺时针测试温度，这样我们就能得到呈现周期性的温度值。
初步结果：
目标（圆环）重复---->目标对称------>相关值的周期性

这里引出一个论点：傅里叶分析通常与具有对称性问题相关。

周期性

在时域上，用频率（frequency）表达
在空域上，用周期（period）表达

两者有事会一起出现，如波动（wave motion）
一个规则的波动含有 波长 与频率 属性
波长：即某一个时间点，一个完整波扰动的长度
频率：1秒内出现波扰动的次数
两者的关系：
设波的传播速度=波长*频率

数学的引入

由于数学上有sin，cos，可以通过这些简单的表达式来表示周期性现象
cos(T+2派)=cos(T)
为什么sin,cos能表达空间上的周期性呢？因为sin与cos分别为单位圆的纵、横坐标，而圆在空间上市重复的堆成的，走过一圈后会回到原点。

周期性，三角函数表示复杂函数

目的

用sin,cos这些简单的函数来表示复杂的周期函数

信号周期化

并不是所有现象都是周期性的，而且即使是周期性的现象（时间周期性），最终都会终结。而sin,cos这些数学函数是无始无终的。
采用了一种叫信号周期化的方法：
设有如下信号（左）：

我们可以把它无限复制，这样就成了一个周期信号，然后研究我们感兴趣的部分（单一周期内的信号）
有了信号周期化的做法，傅里叶研究就相当广泛。

设定周期

为了方便后面的学习，在此设定周期为1，后面的学习会遵循该设定，即
f(t+1)=f(t)
因此信号模型为sin(2Пt)与cos(2Πt)

结论：

首先引出结论，周期为1的信号，可以由sin(2Пt)或cos(2Πt)组成