专业学习｜《随机过程》学习笔记（二）（定义、分类及相关过程）
一、随机过程
（一）随机过程定义
（1）基本概念
随机过程是随机变量的延伸。
（2）描述随机过程的方法
（3）随机过程的分类和举例
（4）随机过程的数字特征
随机过程的数字特征通常用来描述其统计性质和行为。以下是一些重要的特征，包括四阶中心矩等：
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均值（Mean）：
- 表示随机过程在某一时刻的平均值，反映了过程的中心位置。
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方差（Variance）：
- 描述随机过程在均值附近的离散程度，反映了过程的波动性。
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自协方差（Autocovariance）：
- 衡量随机过程在不同时间点之间的相关性，通常用 Cov(X(t),X(t+τ))Cov(X(t),X(t+τ)) 表示。
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自相关（Autocorrelation）：
- 自协方差标准化后得到的值，反映随机过程的周期性和相似性。
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偏度（Skewness）：
- 衡量分布的不对称性，正偏度表示右侧尾部较长，负偏度表示左侧尾部较长。
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峰度（Kurtosis）：
- 衡量分布的尖锐程度，描述尾部的厚度。高峰度表明分布的尾部比正态分布更重。
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四阶中心矩（Fourth Central Moment）：
- 表达随机变量与其均值差值的四次方的期望值，通常用来评估分布的尖锐度，公式为：
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平稳性（Stationarity）：
如果随机过程的统计特性（如均值和方差）在时间上保持不变，则称其为平稳过程。 -
独立性（Independence）：
随机过程中的各个时刻是否独立，影响到自协方差的结构。
（5）随机过程四阶矩及前三阶矩之间关系
| 矩次 | 定义 | 含义 | 实例 |
|---|---|---|---|
| 一阶矩 | ( \mu = E[X(t)] ) | 随机过程在时间 ( t ) 时刻的期望值，即均值。 | 一段时间内温度的平均值。 |
| 二阶矩 | ( E[X^2(t)] ) | 随机过程在时间 ( t ) 的平方期望值，用于计算方差。 | 股票价格的平方的期望值。 |
| 三阶矩 | ( E[X^3(t)] ) | 随机过程的三阶矩，表示其偏斜程度；反映分布的不对称性。 | 收入分配的三阶矩反映收入的不平衡程度。 |
| 四阶矩 | ( E[X^4(t)] ) | 随机过程的四阶矩，用于计算峰度，反映分布的尾部厚度。 | 用于描述金融资产收益率分布的尖峭程度。 |
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一阶矩（均值）：
- 表示随机过程的平均水平。
- 可以用来描述随机过程的中心位置。
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二阶矩（方差）：
- 与一阶矩相关，通过二阶矩可以计算方差：( Var(X(t)) = E[X^2(t)] - (E[X(t)])^2 )。
- 描述随机过程的波动性或离散程度。
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三阶矩（偏斜度）：
- 通过三阶矩的计算，可以得到偏斜度，该指标用于描述分布的偏斜程度。
- 在某些情况下，三阶矩可以通过以下关系得到： [ \text{偏斜度} = \frac{E[X^3(t)] - 3\mu E[X^2(t)] + 2\mu^3}{\sigma^3} ]
- 反映分布的对称性。
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四阶矩（峰度）：
- 通过四阶矩的计算，可以得到峰度，该指标用于描述分布的尖峭程度。计算方式为： [ \text{峰度} = \frac{E[X^4(t)] - 4E[X(t)]E[X^3(t)] + 6(E[X(t)])^2E[X^2(t)] - 3(E[X(t)])^4}{\sigma^4} ]
- 反映分布在均值附近的集中程度，与极端值的出现频率有关。
（二）随机过程的性质
（1）联合分布族的性质
时间点与时间点对应的随机变量相对应，一个变另一个也会变，但是分布函数不会进行变化。
可分性。
（2）独立增量过程
区间只有不挨着，增量就是独立的。
（3）平稳独立增量过程
既独立，同时只有时间长度一样，两个阶段的增加的相同。
（4）随机过程中的马尔科夫过程
已知现在的情况下，过去和将来是独立的。或者是在知道过去和现在的情况下，要预测未来只需要现在的过程就够了（只用现在的信息预测未来）。
x和t之间的协方差，仅仅与x和t之间的关系有关。
（5）更新过程
（6）Poisson过程（泊松过程）
（三）随机过程分类
（1）平稳随机过程
（2）高斯随机过程
二、前置知识
(一）多维随机变量
（1）多维随机变量
（2）二维随机变量
（二）期望与方差的性质等
（三）常用分布
他山之石（参考引用）
[1]概率论信息论基础（随机变量、常用概率分布、贝叶斯规则、信息论基础、结构化概率模型）
[2]第三章 随机过程_随机过程编程-CSDN博客
[3]北理工《随机过程》课程复习笔记 - 知乎 (zhihu.com)