编程练习：探索数学问题的编程解决方案 P137

1. 最大公约数和最小公倍数

问题描述：给定两个正整数m和n，求它们的最大公约数（GCD）和最小公倍数（LCM）。

代码实现：

#include <stdio.h>

// 函数：求最大公约数
int gcd(int a, int b) {
    while (b != 0) {
        int t = b;
        b = a % b;
        a = t;
    }
    return a;
}

// 函数：求最小公倍数
int lcm(int a, int b) {
    return (a / gcd(a, b)) * b; // 使用 GCD 计算 LCM
}

int main() {
    int m, n;
    printf("请输入两个正整数 m 和 n：");
    scanf("%d %d", &m, &n);

    printf("最大公约数: %d\n", gcd(m, n));
    printf("最小公倍数: %d\n", lcm(m, n));

    return 0;
}

2. 水仙花数

问题描述：一个三位数，其各位数字的立方和等于该数本身。

代码实现：

#include <stdio.h>

int main() {
    int num, hundreds, tens, units;

    printf("1000以内的水仙花数有：\n");

    for (num = 100; num < 1000; num++) {
        // 分解每个三位数的各位数字
        hundreds = num / 100;           // 百位
        tens = (num / 10) % 10;         // 十位
        units = num % 10;               // 个位

        // 计算立方和
        if (hundreds * hundreds * hundreds +
            tens * tens * tens +
            units * units * units == num) {
            printf("%d\n", num);
        }
    }

    return 0;
}

3. 完数

问题描述：一个数如果恰好等于它的因子之和，这个数就称为“完数”。

代码实现：

#include <stdio.h>

// 函数用于找出一个数的所有因子并判断是否为完数
void findPerfectNumbers(int limit) {
    for (int num = 1; num < limit; num++) {
        int sum = 0; // 用于存储因子之和
        // 找出num的所有因子
        for (int i = 1; i <= num / 2; i++) {
            if (num % i == 0) {
                sum += i;
            }
        }
        // 如果因子之和等于原数，说明是完数
        if (sum == num) {
            printf("%d its factors are", num);
            // 输出完数的所有因子
            for (int i = 1; i <= num / 2; i++) {
                if (num % i == 0) {
                    if (i == 1) {
                        printf(" %d", i); // 第一个因子前不加逗号
                    } else {
                        printf("，%d", i); // 之后的因子前加逗号
                    }
                }
            }
            printf(".\n"); // 换行
        }
    }
}

int main() {
    int limit = 1000; // 定义上限为1000
    printf("1000之内的完数及其因子如下：\n");
    findPerfectNumbers(limit);
    return 0;
}

4. 自由落体球

问题描述：一个球从100m高度自由落下，每次落地后反弹回原高度的一半。

代码实现：

#include <stdio.h>

int main() {
    double height = 100; // 初始高度为100米
    double totalDistance = 0; // 总经过的距离初始化为0
    double reboundHeight = 0; // 第10次反弹的高度初始化为0

    // 循环计算每次落地和反弹的距离，直到第10次落地
    for (int i = 0; i < 10; i++) {
        totalDistance += height; // 累加每次下落的距离
        height /= 2; // 每次落地后反弹的高度是上次高度的一半
        if (i < 9) {
            totalDistance += height; // 除了最后一次落地，每次落地后还要加上反弹的距离
        }
    }

    // 计算第10次反弹的高度
    reboundHeight = height / 2;

    // 输出总经过的距离和第10次反弹的高度
    printf("第10次落地后总共经过的距离：%.2f米\n", totalDistance);
    printf("第10次反弹的高度：%.2f米\n", reboundHeight);

    return 0;
}

5. 猴子吃桃问题

问题描述：猴子第1天摘下若干个桃子，每天吃掉一半再加一个。

代码实现：

#include <stdio.h>

int main() {
    int peaches = 1; // 第10天剩下的桃子数
    for (int day = 10; day > 1; day--) {
        peaches = (peaches + 1) * 2; // 逆推前一天的桃子数
    }
    printf("第1天共摘了%d个桃子。\n", peaches);
    return 0;
}

6. 寻找素数

问题描述：求100~1000的全部素数。

代码实现：

#include <stdio.h>
#include <math.h>

int main() {
    int i, j, flag, count = 0; // 添加计数器count
    for (i = 100; i <= 1000; i++) {
        flag = 1; // 假设i是素数
        for (j = 2; j <= sqrt(i); j++) {
            if (i % j == 0) {
                flag = 0; // 如果i能被j整除，则i不是素数
                break;
            }
        }
        if (flag) {
            printf("%d ", i);
            count++; // 输出一个素数后计数器加1
            if (count % 5 == 0) { // 每输出五个素数换一行
                printf("\n");
            }
        }
    }
    if (count % 5 != 0) { // 如果最后一行不足五个数，也要换行
        printf("\n");
    }
    return 0;
}