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线性代数矩阵2（方阵）

article 2025/1/11 9:50:12

一、性质

| $A^{T}$ |=|A| ：方阵的行列式值等于转置之后的行列式值。

|kA|= $k^{n}$ |A|：方阵数乘后的行列式值等于方阵转化行列式值乘数的阶次方( $k^n$ )。

|-A|= $(-1)^{n}$ |A|：等同上式子（k = -1）。

|AB|=|A||B|：方阵A、B相乘之后行列式值等于分别行列式值的乘积。

| $A^{m}$ |= $|A|^{m}$ ：方阵的m次幂的行列式值等于方阵行列式值的m次幂（同上式子）。

|E|=1：单位矩阵的行列式值等于1

注释：

|A| 表示方阵A转化为行列式（行列式计算数值结果）

例如：存在矩阵 A如图，求|2A| 和 |A|A

解：|2A| 是方阵数乘后的行列式值（数值），则可以运用 |kA|= $k^{n}$ |A| 公式计算

|2A| = $2^3$ |A| = $2^3$ * 3 * ${-1}^{2+2}$ *（5-0）=120

|A|A 表示方阵A的行行列式值乘方阵A，则结果为方阵（方阵的数乘）

|A|A = 3 * ${-1}^{2+2}$ *（5-0） * A= 15A （每个元素都乘15）

二、伴随矩阵

1、定义

每个元素的代数余子式值放入原本元素位置，得到新的矩阵进行转置，最后矩阵为原本矩阵的伴随矩阵（A的伴随矩阵记作A*）。

例如：

解：依次求出元素代数余子式：

$A_{11}$ = ${(-1)}^{1+1}$ * (4-3)= 1, $A_{12}$ = ${(-1)}^{1+2}$ *(8-3)= - 5, $A_{13}$ = ${(-1)}^{1+3}$ *(2-1)= 1,

$A_{21}$ = ${(-1)}^{2+1}$ *(4-1)= - 3, $A_{22}$ = ${(-1)}^{2+2}$ *(4-1)= 3, $A_{23}$ = ${(-1)}^{2+3}$ *(1-1)= 0,

$A_{31}$ = ${(-1)}^{3+1}$ *(3-1)= 2, $A_{32}$ = ${(-1)}^{3+2}$ *(3-2)= - 1, $A_{33}$ = ${(-1)}^{3+3}$ *(1-2)= - 1,

放入原本元素位置后转置就是 $A_{12}$ = $A_{21}$ 方式，所以：

注意：代数余子式是取消行列式该元素所在行列，剩下的元素组成的低一阶行列式。

行列式的值等于某行或某列所有元素乘以该元素的代数余子式的结果累加。

2、性质

性质1：矩阵与伴随矩阵的积满足交换率且值等于矩阵的行列式值乘以单位矩阵

A $A^{*}$ = $A^{*}$ A=|A|E

证明：设一个方阵A为对角矩阵，那么伴随矩阵A* 也是对角矩阵，且A*中的元素与A的元素对应（转置对主对角线无效），其他为零，则相乘后的矩阵的每一位元素都是方阵A的行列式值，等价于行列式值与单元矩阵相乘。

性质2：伴随矩阵的行列式值等于原矩阵行列式值的阶次-1次方。

| $A^{*}$ |= $|A|^{n-1}$

证明：同上面 A $A^{*}$ = |A|E 以及矩阵的公因式与行列式的公因式区别，A矩阵的行列式值乘以单位矩阵等于A矩阵的行列式值得阶数次方乘以单位矩阵的行列式值（设E为三阶矩阵，2E = $2^3*|E|$ ）；所以 |A|E = $|A|^n$ |E| = $|A|^n$ ，| $A^{*}$ |= $|A|^{n}$ / $|A|$ = $|A|^{n-1}$ 。